山东省潍坊市高密市高二数学上学期期中试题文含解析

2022-2022学年山东省潍坊市高密市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列1，，，，的一个通项公式an是()A．B．C．D．2．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是()A．∀x∈R，x2+1≤0B．∀x∈R，x2+1＜0C．∃x0∈R，x02+1＜0D．∃x0∈R，x02+1≤03．命题“若α=，则tanα=”的逆否命题是()A．若α≠，则tanα≠B．若α=，则tanα≠C．若tanα≠，则α≠D．若tanα≠，则α=4．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是()A．ac＞bcB．＞0C．（a﹣b）c2≥0D．＜6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=﹣11，a6+a10=﹣2，则当Sn取最小值时，n的值为()A．7B．8C．9D．10-20-\n7．若变量x，y满足约束条件，则的最大值是()A．B．1C．D．28．如图，为测得对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东方向是15°方向走30m到位置D，测得∠BDC=30°，则塔高是()A．15mB．5mC．10mD．15m9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC+ccosA=bsinB，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°角的等腰三角形10．已知正项等比数列{an}满足：a8﹣a7﹣2a6=0，若存在两项am，an，使得=4a2，则+的最小值为()A．2B．3C．4D．1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=__________．12．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a4a12=36，则a6=__________．-20-\n13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=__________．14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=，cosC=，c=3，则a=__________．15．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是__________．三、解答题（共6小题，满分75分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．17．已知命题P：关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根；命题Q：不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsin（A+B）﹣ccosB=0．（1）求B；（2）若b=，c=2，求△ABC的面积．19．解关于x的不等式：mx2﹣（4m+1）x+4＞0（m≥0）-20-\n20．（13分）根据政府的要求，某建筑公司拟用1080万购一块空地，计划在该空地上建造一栋每层1500米的高层经济适用房，经测算，如果将适用房建为x（x∈N*）层，则每平方的平均建筑费用为800+50x（单位：元）．（1）写出拟建适用房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）改适用房应建造多少层时，可使适用房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）21．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn+an=1；递增的等差数列{bn}满足b1=1，b3=b﹣4．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn是an，bn的等比中项，求数列{c}的前n项和Tn；（3）若c≤t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围．-20-\n2022-2022学年山东省潍坊市高密市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列1，，，，的一个通项公式an是()A．B．C．D．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】阅读型．【分析】将原数列中的第一项写成分式的形式：，再观察得出每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，从而得出数列1，，，，的一个通项公式an．【解答】解：将原数列写成：，，，，．每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，∴数列1，，，，的一个通项公式an是．故选B．【点评】本题主要考查了数列的概念及简单表示法、求数列的通项公式．关键推断{an}中每一项的分式的规律求得数列的通项公式．2．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是()A．∀x∈R，x2+1≤0B．∀x∈R，x2+1＜0C．∃x0∈R，x02+1＜0D．∃x0∈R，x02+1≤0【考点】命题的否定．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可．-20-\n【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x02+1≤0”故选：D．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化．3．命题“若α=，则tanα=”的逆否命题是()A．若α≠，则tanα≠B．若α=，则tanα≠C．若tanα≠，则α≠D．若tanα≠，则α=【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可写出答案．【解答】解：命题“若α=，则tanα=”的逆否命题是“若tanα≠，则α≠”．故选：C．【点评】基础题，掌握逆否命题定义即可得出答案．4．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．-20-\n所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．5．若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是()A．ac＞bcB．＞0C．（a﹣b）c2≥0D．＜【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的基本性质判断每个答案中不等式是否成立，即可得到答案．【解答】解：A．当c=0时，ac＞bc不成立；B．当c=0时，=0，故＞0不成立；C．∵a＞b，∴a﹣b＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）c2≥0，成立．D．当a，b异号时，a＞b⇔⇔＜⇔＞，故D不成立综上可知：只有C成立．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=﹣11，a6+a10=﹣2，则当Sn取最小值时，n的值为()A．7B．8C．9D．10【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式可得an，令an≥0，解出即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3=﹣11，a6+a10=﹣2，∴，-20-\n解得a1=﹣15，d=2，∴an=﹣15+2（n﹣1）=2n﹣17，令an≥0，解得n≥，则当Sn取最小值时，n=8．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若变量x，y满足约束条件，则的最大值是()A．B．1C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率的公式，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知直线OA的斜率最大，由得，即A（2，3），此时k=，故选：C-20-\n【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的公式结合数形结合是解决本题的关键．8．如图，为测得对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东方向是15°方向走30m到位置D，测得∠BDC=30°，则塔高是()A．15mB．5mC．10mD．15m【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=30，∠BCD=105°，∠BDC=30°，∠CBD=45°由正弦定理可得BC==15∴x=15∴x=15-20-\n故塔高AB为15m故选：D．【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC+ccosA=bsinB，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°角的等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知以及正弦定理可知sinAcosC+sinCcosA=sin2B，化简可得sinB=sin2B，结合B的范围可求B=，从而得解．【解答】解：由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA=sin2B，即sin（A+C）=sinB=sin2B．∵0＜B＜π，sinB≠0，∴sinB=1，B=．所以三角形为直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．10．已知正项等比数列{an}满足：a8﹣a7﹣2a6=0，若存在两项am，an，使得=4a2，则+的最小值为()A．2B．3C．4D．1【考点】基本不等式；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．-20-\n【分析】设正项等比数列{an}的公比为q：由a8﹣a7﹣2a6=0，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0．解得q．存在两项am，an，使得=4a2，化为：m+n=8，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q：∵a8﹣a7﹣2a6=0，∴=0，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0．解得q=2，∵存在两项am，an，使得=4a2，∴=4a1q，q=2．化为：m+n=8，则+==≥（10+2）=2，当且仅当n=3m=6时取等号．∴+的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．【考点】余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用余弦定理求得cosB的值，可得B的值．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，-20-\n故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．12．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a4a12=36，则a6=．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a4a12=36，∴，化为=6，∴a1=．∴a6==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得===，再由=，求出结果．【解答】解：由等差数列的性质可得===，又=，-20-\n∴==．故答案为：．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，得到===是解题的关键，属于基础题．14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=，cosC=，c=3，则a=．【考点】余弦定理的应用；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】由cosB与cosC的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB与sinC的值，再由c的值，利用正弦定理求出b的值，再利用余弦定理即可求出a的值．【解答】解：∵△ABC中，cosB=，cosC=，∴sinB=，sinC=，∵c=3，∴由正弦定理=得：b===，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即9=a2+﹣2a，解得：a=，故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握基本关系是解本题的关键．-20-\n15．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是27万元．【考点】简单线性规划的应用．【专题】综合题．【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且，联立，解得x=3y=4，由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故答案为：27万元．【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．三、解答题（共6小题，满分75分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9-20-\n（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）先设出等差数列{an}的公差为d，然后由等差数列的通项公式及题意列出方程，求出首项a1和公差d，进而求出数列{an}的通项公式；（2）将（1）中所求的{an}的通项公式代入，即可求出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法求出其前n项和Sn即可．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则由an=a1+（n﹣1）d得：解得，所以{an}的通项公式为，（2）因为，所以．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，以及数列的求和方法：裂项相消法，属于中档题．17．已知命题P：关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根；命题Q：不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出关于p，q成立的a的范围，从而求出P∨Q是真命题时的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵命题P：关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根，-20-\n∴，解得：a＞1，又∵命题Q：不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立，当a=0时：不等式变为：﹣3x﹣1≤0，解得：x≥﹣，显然不符合题意，当a≠0时：，解得：﹣9＜a＜﹣1，若P∨Q是真命题，则实数a的范围是：﹣9＜a＜﹣1或a＞1．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsin（A+B）﹣ccosB=0．（1）求B；（2）若b=，c=2，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由三角形内角和定理，正弦定理化简已知可得tanB=，结合范围0＜B＜π，即可解得B的值．（2）由已知及余弦定理可得a2﹣2a﹣3=0，解得a，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵bsin（A+B）﹣ccosB=0．∴bsin（π﹣C）﹣ccosB=0．可得：bsinC﹣ccosB=0．∴由正弦定理可得：sinBsinC=sinCcosB，∵sinC≠0，可得：tanB=，∵0＜B＜π，解得：B=…6分（2）∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，b=，c=2，B=，∴7=a2+4﹣2a，即a2﹣2a﹣3=0，-20-\n∵a＞0，解得：a=3，∴S△ABC=acsinB=…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．19．解关于x的不等式：mx2﹣（4m+1）x+4＞0（m≥0）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；分类法；不等式的解法及应用．【分析】只需讨论m=0、m＞0时，对应不等式解集的情况，求出解集即可．【解答】解：当m=0时，不等式化为﹣x+4＞0，解得x＜4；当m＞0时，不等式化为（mx﹣1）（x﹣4）＞0，即（x﹣）（x﹣4）＞0；若＜4，则m＞，解不等式得x＜或x＞4；若=4，则m=，不等式化为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；若＞4，则m＜，解不等式得x＜4或x＞；综上，m=0时，不等式的解集是{x|x＜4}；0＜m＜时，不等式的解集是{x|x＜4，或x＞}；m=时，不等式的解集是{x|x≠4}；m＞时，不等式的解集是{x|x＜，或x＞4}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题．20．（13分）根据政府的要求，某建筑公司拟用1080万购一块空地，计划在该空地上建造一栋每层1500米的高层经济适用房，经测算，如果将适用房建为x（x∈N*）层，则每平方的平均建筑费用为800+50x（单位：元）．（1）写出拟建适用房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）改适用房应建造多少层时，可使适用房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？-20-\n（（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；不等式．【分析】（1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为800+50x与平均购地费用的和，由已知中某单位用1080万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x层，每层1500平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，先利用基本不等式，检验等号成立的条件，即可求最小值．【解答】解（1）依题意得y=（800+50x）+=800+50x+（x∈N*）；（2）由y=800+50x+≥800+1200=2000，当且仅当50x=，即x=12时取得等号，故该公寓应建造12层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为2000元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过审题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．21．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn+an=1；递增的等差数列{bn}满足b1=1，b3=b﹣4．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn是an，bn的等比中项，求数列{c}的前n项和Tn；（3）若c≤t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和；函数恒成立问题．【专题】综合题；转化思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）讨论n=1时，a1=S1，当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得数列{an}的通项公式；再由等差数列的通项公式，解方程可得d，即可得到所求{bn}的通项公式；-20-\n（2）运用等比数列的性质，求得c=anbn=（2n﹣1）•（）n；再由数列的求和方法：错位相减法，化简整理即可得到所求；（3）由题意可得（2n﹣1）•（）n≤t2+2t﹣2恒成立．判断{（2n﹣1）•（）n}的单调性，可得最大值，解不等式即可得到t的范围．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1，2S1+a1=1，解得a1=；当n＞1时，2Sn+an=1，可得2Sn﹣1+an﹣1=1，相减即有2an+an﹣an﹣1=0，即为an=an﹣1，则an=（）n；设递增的等差数列{bn}的公差为d，即有1+2d=（1+d）2﹣4，解得d=2，则bn=2n﹣1；（2）cn是an，bn的等比中项，可得c=anbn=（2n﹣1）•（）n；前n项和Tn=1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n；Tn=1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n﹣1）•（）n+1；相减可得Tn=+2﹣（2n﹣1）•（）n+1=+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1；化简可得前n项和Tn=1﹣（n+1）•（）n；（3）c≤t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立，即为（2n﹣1）•（）n≤t2+2t﹣2恒成立．由﹣c=（2n+1）•（）n+1﹣（2n﹣1）•（）n=（）n•（1﹣n）≤0，可得数列{c}单调递减，即有最大值为c12=，则≤t2+2t﹣2，解得t≥1或t≤﹣7．即实数t的取值范围为（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞）．-20-\n【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查数列的单调性的运用：解恒成立问题，属于中档题．-20-