广东省中山一中等六校2022届高三数学8月第一次联考试题 文 新人教A版
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广东省六校2022届高三第一次联考试题文科数学本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.参考公式:球的体积公式是,其中是球的半径.棱锥的体积公式:.其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集,集合,,那么A.B.C.D.2.函数是A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数3.已知命题:,,那么是A.,B.,C.,D.,4.已知是虚数单位,则复数的虚部为第5题图A.B.C.D.5.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是A. B.C.D.6.设变量满足约束条件:,则的11最小值为A.B.C.D.7.已知数列的前项和,则=A.36B.35C.34D.338.在中,角所对的边分别为,若,,则第9题图A.B.C.D.9.若右边的程序框图输出的是126,则条件①可为A.B.C.D.10.椭圆=1的左右焦点分别为、,点是椭圆上任意一点,则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分.)11.设平面向量,则.12.若直线与幂函数的图象相切于点,则直线的方程为.13.已知函数,则.★(请考生在以下二个小题中任选一题作答,全答的以第一小题计分)第15题图14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,设曲线与11的交点分别为,则线段的垂直平分线的极坐标方程为.15.(几何证明选讲选做题)如右图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知,,圆的半径为,则圆心到直线的距离为.三、解答题(本部分共计6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请在指定区域内作答,否则该题计为零分.)16.(本小题满分12分)已知平面直角坐标系上的三点,,(),为坐标原点,向量与向量共线.(1)求的值;(2)求的值.17.(本小题满分12分)某小组共有五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.1118.(本小题满分14分)BDCAA1B1C1D1第18题图如右图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,.(1)求证:平面平面;(2)若,求四棱锥的体积.19.(本小题满分14分)设是各项都为正数的等比数列,是等差数列,且,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设数列的前项和为,求数列的前项和.20.(本小题满分14分)已知抛物线与双曲线有公共焦点,点是曲线在第一象限的交点,且.(1)求双曲线的方程;(2)以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切,圆:.过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和,设被圆截得的弦长为,被圆截得的弦长为,问:是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.1121.(本小题满分14分)已知为函数图象上一点,O为坐标原点,记直线的斜率.(1)若函数在区间上存在极值,求实数m的取值范围;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)求证:.11广东省六校2022届高三第一次联考文科数学参考答案一.选择题(10小题,每小题5分,共50分)题号12345678910答案DAADBCCBBD二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分20分)11.12.13.14.(与其等价的极坐标方程皆可)15.三.解答题(本部分共计6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本题满分12分)解:(1)法1:由题意得:,,…………………2分∵,∴,∴.…………………5分法2:由题意得:,,…………………2分∵,∴,∴,∴.…………………5分(2)∵,,∴,…………………6分由,解得,,…………………8分∴;…………………9分;…………………10分∴.…………………1112分17.(本小题满分12分)解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.…………………………4分选到的2人身高都在1.78以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为.…………………………6分(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.…………………………10分选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有:(C,D),(C,E),(D,E),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为.………12分18.(本题满分14分)解:(1)证明:在中,由余弦定理得:,所以,所以,即,……………………………………3分又四边形为平行四边形,所以,又底面,底面,所以,……………………………………4分又,所以平面,……………………………………5分解法一图BDCAA1B1C1D1M又平面,所以平面平面.……………………………………6分(2)法一:连结,∵,∴11∵平面,所以,……………………………8分所以四边形的面积,…………10分取的中点,连结,则,且,解法二图BDCAA1B1C1D1又平面平面,平面平面,所以平面,……………………………………13分所以四棱锥的体积:.……………………………………14分法二:四棱锥的体积,……………8分而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等,……………10分所以.……………………14分19.(本小题满分14分)解:(1)设数列的公比为数列的公差为,依题意得:,………………………………………………2分消去得,………………………………………………3分∵∴,由可解得………………………………………………4分∴………………………………………………5分(2)由(1)得,所以有:………………………………………………7分11令①则②①-②得:…………………………………………10分∴………………………………………………12分又,………………………………………………13分∴.………………………………………………14分20.(本小题满分14分)解:(1)∵抛物线的焦点为,∴双曲线的焦点为、,………………………………………………1分设在抛物线上,且,由抛物线的定义得,,∴,∴,∴,…………………………3分s5u∴,………………………………………………4分又∵点在双曲线上,由双曲线定义得:,∴,∴双曲线的方程为:.………………………………6分(2)为定值.下面给出说明.设圆的方程为:,5u∵圆与直线相切,∴圆的半径为,故圆:.………………………………7分11显然当直线的斜率不存在时不符合题意,………………………………………………8分设的方程为,即,设的方程为,即,∴点到直线的距离为,点到直线的距离为,………………………………………………10分∴直线被圆截得的弦长,……………………………11分直线被圆截得的弦长,……………………………12分∴,故为定值.………………………………14分21.(本题满分14分)解:(1)由题意,……………………………………1分所以…………………………………………2分当时,;当时,.所以在上单调递增,在上单调递减,故在处取得极大值.…………………………………………3分因为函数在区间(其中)上存在极值,11所以,得.即实数的取值范围是.……………4分(2)由得,令,则.……………………………………………………6分令,则,因为所以,故在上单调递增.……………………7分所以,从而在上单调递增,所以实数的取值范围是.…………………………………………9分(3)由(2)知恒成立,即……………………11分令则,……………………12分所以,,……,.将以上个式子相加得:,故.…………………………………14分(解答题的其他解法可酌情给分)11
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