广东省中山一中等七校联合体2022届高三数学第二次12月联考试题理

广东省七校联合体2022届高三第二次联考试卷数学理第Ⅰ卷一、选择题：01．设复数满足，则()A．3B．-3C．3iD．-3i02．求值()A．B．-C．D．-03．“a≤-3”是“f(x)=-|x+a|在内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：幸福感指数[0，2)[2，4)[4，6)[6，8)男居民人数1020220125125女居民人数1010180175125根据表格，解答下面的问题：(Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；(Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)．19．(本小题满分12分)如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分，底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂直于底面ABCD，GC=3，AB=，BC=，四边形AEFG为菱形，经过C且垂直于AG的平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N；⑴求证：CN⊥BH；⑵求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值。20．(本小题满分12分)椭圆的上顶点为A，8是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．⑴求椭圆C的方程；⑵设过点M的动直线与椭圆C相交于D、E两点，求面积的最大值21．(本小题满分12分)已知函数，⑴若函数在区间无零点，求实数的最小值；⑵若对任意给定的，方程在上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，⑴证明：∠ADE=∠AED；⑵若AC=AP，求的值.23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C：(t为参数)，C：(为参数).⑴化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；8⑵若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线距离的最大值．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数.⑴若的解集为，求实数的值；⑵当时，当时，不等式恒成立，求的取值范围.七校联合体2022届高三第二次联考试卷理科数学（答案）一、选择题：CCDCBD、ABCADB二、填空题：-26三、解答题17．解：⑴当n≥2时，……①∴……②【1分】∴②-①得，即……【3分】由，得……【4分】∴……【6分】∵、都满足上式8∴……【7分】⑵……【9分】0.200.150.20∴……【12分】18．解：(1)频率分布直方图如右……【3分】所求的平均值为：0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46……【5分】(2)男居民幸福的概率为女居民幸福的概率为故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3……【7分】因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B(4,0.3)……【8分】∴，，，∴X的分布列为X01234p0.24010.41160.26460.07560.0081……【11分】∴……【12分】819．⑴证：连结BH，由题知AB⊥面BCGF又∵CN面BCGF，∴AB⊥CN……【1分】∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN……【2分】又∵AG∩AB=A，AG、AB面BAH，∴CN⊥面BAH……【4分】又∵BH面BAH，∴CN⊥BH……【5分】⑵解：以DA、DC、DE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系……【6分】∵四边形AEFG为菱形，可设AE=EG=a，DE=b由，得由，得以上面两式解得：a=3，b=2……【8分】∴、、∴、由，解得为面AFGE的一个法向量……【10分】由题知为面ABCD的一个法向量∴，∴所求二面角的余弦值为……【12分】20．解：⑴由题知：，∴∵，，即……【1分】又且，……【2分】∴，∴椭圆的方程为：……【4分】⑵依题意可设动直线的方程为：设由可得……【5分】则，解得……【6分】由韦达定理可得，……【7分】8∴……【8分】设点O到直线的距离为,则∴……【10分】∴当即时，取得最大值，最大值为21．解：⑴记，，则∵在上无零点，∴直线与曲线在上无交点只需，即解得，∴a的最小值是……【4分】⑵，在上，，单调增；在上，，单调减，，∴在上的值域为……【6分】①当时，在上，，单调减，不合题意……【7分】②当时，令得(i)当时，即时，在上，，单调减，不合题意……【8分】(ii)当时，即时，在上，，单调减；在上，，单调增8∵，使得……【9分】∴要使方程在上总存在两个不等的实根只需，即……（*）……【10分】令，，令得x=0在上，，单调增；在上，，单调减∴，∴（*）式的解为……【11分】∴，∴实数a的取值范围是……【12分】22．解：(1)∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE∴∠ADE=∠AED…………【5分】(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴DAPC∽DBPA,=,∵AC=AP,∠BAP=∠C=∠APC,由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180º,∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90º∴∠C+∠APC+∠BAP=90º,∴∠C=∠APC=∠BAP=30º,在RtDABC中,=,∴=…………【10分】23．解：⑴由C：(t为参数)可得由C：(为参数)可得曲线C是以为圆心，以1为半径的圆；曲线C是焦点在轴上的椭圆；…………【4分】⑵由已知可得点P，Q，则8又直线可化为：设到直线的距离为，则(其中)∴的最大值为…………【10分】24．解：⑴由题意可得和是方程的两根∴解得…………【4分】⑵当时，不等式可化为令当时，∴当时，不等式恒成立只需满足即可∴，∴的取值范围为.…………【10分】8