江西省南昌三中2022届高三月考数学(文)试题
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南昌三中2022—2022学年度上学期第五次考试高三数学(文)试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数的对应点为,则()A.BC.D.2.已知全集U=R,集合,集合,则()A.B.C.D.3.设是空间中两条不同的直线,是平面,,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.给出下列三个命题:①“若,则”为假命题;②若∧为假命题,则,均为假命题;③命题:,则.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.35.将函数的图象向左平移个单位,所得的函数关于轴对称,则的一个可能取值为()A.B.C.0D.6.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠,本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?()A.5B.6C.4D.37.已知双曲线的焦距为,且双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的方程为( )A.B.C.D.8.外接圆圆心O,半径为1,且,则向量在向量方向的投影为( )A. B. C. D.9.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()10/10A.7B.9C.10D.1110.已知实数满足,则的最大值为()A.1B.2C.3D.411.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是()A.B.C.D.12.已知数列的通项公式为:,且若数列为递增数列,则().A.-2B.-1C.1D.2二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知,则.14.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对任意的,则k的最大值为.15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若AB=23,则圆C的面积为.16.已知函数,,若恒成立,则实数的取值范围是________.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本题满分12分)在中,角,,的对边分别是,,,且向量与向量共线.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,,,且,求的长度.18.(本题满分12分)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为10/10.(1)请将上述列联表补充完整;(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;(3)已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.下面的临界值表仅供参考:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式:,其中)19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接(Ⅰ)证明:.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(Ⅱ)(文科)若底面为正方形且,求三棱锥的体积。20.(本小题满分12分)已知函数,.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若,,求的值。xyODAB21.(本小题满分12分)如图,已知点D(0,-2),过点D作抛物线:的切线切点A在第二象限。(1)求切点A的纵坐标;(2)若离心率为的椭圆恰好经过A点,设切线交椭圆的另一点为B,若设切线,直线OA,OB的斜率分别为,,①试用斜率表示,②当取得最大值时求此时椭圆的方程。请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系.(Ⅰ)写出的极坐标方程;(Ⅱ)设曲线经伸缩变换后得到曲线,射线()分别与和交于,两点,求.10/1023.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知不等式的解集为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设关于的方程()有解,求实数的值.高三数学(文)答卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数的对应点为,则(B)A.BC.D.2.已知全集U=R,集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】由得,所以,又因为,所以,所以,故选C.3.设是空间中两条不同的直线,是平面,,则“”是“”的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.给出下列三个命题:①“若,则”为假命题;②若∧为假命题,则,均为假命题;③命题:,则.其中正确的个数是(【B】)A.0B.1C.2D.3【解析】(1)∵命题“若,则”是真命题,所以其逆否命题亦为真命题,因此(1)不正确;(2)错误;(3)根据含量词的命题否定方式,可知命题(3)正确.5.将函数的图象向左平移个单位,所得的函数关于轴对称,则的一个可能取值为()A.B.C.0D.【答案】B6.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠,本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?()10/10A.5B.6C.4D.3【答案】D【解析】试题分析:由题意可知,每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列,公比为,设顶层的灯数为,则,解之得,故选D.考点:1.数学文化;2.等比数列的性质与求和.7.已知双曲线的焦距为,且双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的方程为A.B.C.D.【答案】A8.外接圆圆心O,半径为1,且,则向量在向量方向的投影为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为所以,所以三点共线即;又因为,所以,所以故向量在向量上的投影为选A.9.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(B)(A)7(B)9(C)10(D)1110.已知实数满足,则的最大值为(D)A.1B.2C.3D.411.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是(D))(A)(B)(C)(D)12.已知数列的通项公式为:,且若数列为递增数列,则().A.-2B.-1C.1D.2答案:B.解析:要使数列为递增数列,则恒成立.∴恒成立,恒成立(ⅰ)当为奇数时,即恒成立,当且仅当时,有最小值为1,∴.10/10(ⅱ)当为偶数时,即恒成立,当且仅当时,有最大值,∴.即,又为非零整数,则.故选B二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知,则.答案:14.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对任意的,则k的最大值为.【答案】415.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若AB=23,则圆C的面积为.【答案】16.已知函数,,若恒成立,则实数的取值范围是________.解:(1)命题在上恒成立在上恒成立,令则,,当时故在上单调递增,;当时,记,则在上单调递减,当时,不符合题意,综上的取值范围是三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本题满分12分)在中,角,,的对边分别是,,,且向量与向量共线.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,,,且,求的长度.【解析】(Ⅰ),∴,∴,∵,∴;(Ⅱ),,,且,∴,即,解得或(舍),∵,∴,∴,将和代入并化简得.18.(本题满分12分)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计10/10已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.(1)请将上述列联表补充完整;(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;(3)已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.下面的临界值表仅供参考:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式:,其中)18.解:(1)因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为,所以喜欢游泳的学生人数为人...................1分其中女生有20人,则男生有40人,列联表补充如下:喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生203050合计6040100...4分因为................... 7分所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关......................8分(2)5名学生中喜欢游泳的3名学生记为,另外2名学生记为1,2,任取2名学生,则所有可能情况为,共10种....10分其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为,共6种.... 11分所以,恰好有1人喜欢游泳的概率为............12分19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接(Ⅰ)证明:.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(Ⅱ)(文科)若底面为正方形且,求三棱锥的体积。19.解:(Ⅰ)因为底面,所以,由底面为长方形,有,而,所以.而,所以.而,所以平面.而,所以.又,,所以平面.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.10/10(Ⅱ),20.(本小题满分12分)已知函数,.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若,,求的值。解:(1)由已知得,x>0且①当时,,f(x)在是减函数,在是增函数.②当时,,f(x)在是减函数,在和是增函数.③当时,,f(x)在是增函数.④当时,,f(x)在是减函数,在和是增函数.(2)由(1)知,当时,f(x)在是增函数.则, 故当时,f(x)在是减函数,在是增函数.则时,,矛盾。综上,21.(本小题满分12分)如图,已知点D(0,-2),过点D作抛物线:的切线切点A在第二象限。(1)求切点A的纵坐标;(2)若离心率为的椭圆恰好经过A点,设切线交椭圆的另一点为B,若设切线,直线OA,OB的斜率分别为,,①试用斜率表示,②当取得最大值时求此时椭圆的方程。xyODAB21、解:(1)设切点A,依题意则有解得,即A点的纵坐标为2,(2)依题意可设椭圆的方程为,直线AB方程为:;由得①由(1)可得A,将A代入①可得,故椭圆的方程可简化为;…5分10/10联立直线AB与椭圆的方程:消去Y得:,则…10分又∵,∴k∈[-2,-1];即…12分(3)由可知上为单调递增函数,故当k=-1时,取到最大值,此时P=4,故椭圆的方程为…14分请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系.(Ⅰ)写出的极坐标方程;(Ⅱ)设曲线经伸缩变换后得到曲线,射线()分别与和交于,两点,求.【解析】(Ⅰ)将消去参数,化为普通方程为,即,…2分,将代入,得,…4分。所以的极坐标方程为.…5分(Ⅱ)将代入得,所以的方程为.…7分的极坐标方程为,.又,所以……………………10分23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知不等式的解集为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设关于的方程()有解,求实数的值.【分析】本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等.10/10【解析】(Ⅰ)由得,或…………2分解得.依题意.………5分(Ⅱ)因为,当且仅当时取等号,…7分。因为关于的方程()有实数根,所以.8分另一方面,,所以,…9分,所以或.……10分10/10
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