河南省郑州市2022学年高二数学上学期期中试题理

2022-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2，3，5，9}，集合B={4，5，6，7，9}，则（∁UA）∩（∁UB）=（）A.{5，9}B.{2，3}C.{1，8，10}D.{4，6，7}2.已知在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A.1：2：3B.C.D.3.设x＞1，则x+的最小值是（）A.4B.5C.6D.74.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8=6+a11，则S9的值等于（）A.54B.45C.36D.275.已知数列{an}为等比数列，其前n项和Sn=3n-1+t，则t的值为（）A.-1B.-3C.D.16.在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是（）A.x＞2B.x＜2C.D.7.裴波那契数列的通项公式为an=[（）n-（）n]，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例，由此，a5=（）A.3B.5C.8D.138.在正项等比数列{an}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2022=（）A.2022B.2022C.-2022D.-20229.关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，1），则不等式＞0的解集为（）A.（-1，2）B.（-∞，1）∪（1，2）-13-\nC.（1，2）D.（-∞，-1）∪（-1，2）1.在△ABC中，若=，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形2.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日3.若关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a的取值范围为（）A.0＜a＜1B.a＞-1C.-1＜a＜1D.a＜1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=-1，an+1=2Sn，（n∈N*），则Sn=______．5.在约束条件下，目标函数z=|x-y+4|的最大值为______．6.在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高，已知CD=60，AD=25，求BD=______．7.若-1＜a＜0，则不等式-的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）8.解不等式：ax2-2（a+1）x+4＞0．-13-\n1.已知数列{an}满足：an≠0，a1=，an-an+1=2an•an+1．（n∈N*）．（1）求证：{}是等差数列，并求出an；（2）证明：a1a2+a2a3+…+anan+1＜．2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC-bcosC=ccosB-ccosA，且C=120°．（1）求角A；（2）若a=2，求c．3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．（1）求a1和a2的值；（2）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（3）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．-13-\n1.小张打算在2022年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2022年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？（提示：（1+4%）10≈1.48）2.在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C对边的长，满足（2b-c）cosA=acosC（1）求角A的大小；（2）已知BC=6，点D在BC边上，①若AD为△ABC的中线，且b=2，求AD长；②若AD为△ABC的高，且AD=3，求证：△ABC为等边三角形．-13-\n答案和解析【答案】1.C    2.C    3.B    4.A    5.C    6.C    7.B    8.D    9.C    10.D    11.C    12.C    13.-3n-114.515.14416.-3-217.解：∵ax2-2（a+1）x+4＞0，∴（ax-2）（x-2）＞0，1、a=0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；2、a＜0时，原不等式的解集为{x|＜x＜2}；3、0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＞或x＜2}；4、a=1时，原不等式的解集为：{x|x≠2，x∈R}；5、a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜或x＞2}．18.证明：（1）a1=，an-an+1=2an•an+1．可得-=2，则{}是首项为3，公差为2的等差数列，=+2（n-1）=3+2（n-1）=2n+1，即有an=；（2）证明：a1a2+a2a3+…+anan+1=++…+=（-+-+…+-）=（-）=-•＜．19.解：由正弦定理，得：sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA，整理得：sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC，即sin（A+C）=sin（B+C），∴sinB=sinA，又C=120°，-13-\n∴B=A=30°，∵a=2，∴b=2，∴由余弦定理得：a2+b2-2abcosC=4+4-2×2×2×（-）=12，∴c=2．20.解：（1）∵an是Sn与2的等差中项∴Sn=2an-2∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4（2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，又Sn-Sn-1=an，n≥2∴an=2an-2an-1，∵an≠0，∴=2（n≥2），即数列{an}是等比数列，∵a1=2，∴an=2n∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1，（3）∵cn=（2n-1）2n∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）2n，∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1因此：-Tn=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）-（2n-1）2n+1，即：-Tn=1×2+（23+24+…+2n+1）-（2n-1）2n+1，∴Tn=（2n-3）2n+1+621.解：50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50（1+4%）10…4分每年存入x万元的本息和：x•（1+4%）9+x•（1+4%）8+…+x…（8分）=•x…（10分）从而有50（1+4%）10=•x解得：x≈6.17（万元）…12分22.（本小题满分16分）解：（1）由正弦定理得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC．…（2分）-13-\n所以2sinBcosA=sinB，所以cosA=，…（4分）因为0°＜A＜180°，所以A=60°．…（5分）（不给A的范围扣1分）（2）①由正弦定理得=，又因为BC=6，b=，A=60°，所以sinB=．…（7分）因为0°＜B＜180°，所以B=30°或B=150°．…（8分）因为A+B＜180°，所以B=30°．…（10分）因为D是BC的中点，所以DC=3．由勾股定理知AD=．…（11分）②因为=，又因为AD=，BC=6，sinA=，所以AB×AC=36…（13分）因为BC2=AB2+AC2-2ABACcosA，所以AB2+AC2=72，…（15分）所以AB+AC=12，所以AB=AC=6．所以△ABC为等边三角形．…（16分）本题第3问若用两角和与差的正切公式也给分【解析】1.解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2，3，5，9}，集合B={4，5，6，7，9}，∴∁UA={1，2，4，6，7，8，10}，∁UB={1，2，3，8，10}，则（∁UA）∩（∁UB）={1，8，10}．故选：C．根据全集U，以及A与B，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.解：由题意：∵角A，B，C是△ABC的内角，∴B+A+C=π-13-\n∵A：B：C=1：2：3，∴A=30°，B=60°，C=90°根据正弦定理：sinA：sinB：sinC=a：b：c∴a：b：c=1：：2故选C．根据三角形内角和定理和正弦定理即可求解．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．3.解：∵x＞1，∴+1=5．当且仅当x=3时取等号．故选B．利用基本不等式即可得出．熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．4.解：∵2a8=a11+6由等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6由等差数列的前n项和可得，故选：A由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6，代入等差数列的前n项和，然后利用利用等差数列的性质及所求的a5的值代入可求得答案．本题主要考查了等差数列的前n项和的求解，关键是由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6，求出a5，在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性质a1+a9=2a5．灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键．5.解：∵等比数列{an}的前n项和Sn=3n-1+t，∴n=1时，a1=S1=1+t；n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1+t-（3n-2+t）=2×3n-2，n=1时上式成立，∴1+t=2×3-1，解得t=-．故选：C．等比数列{an}的前n项和Sn=3n-1+t，n=1时，a1=S1；n≥2时，an=Sn-Sn-1，n=1-13-\n时上式成立，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜90°，＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=x=2sinA，∵2sinA∈（2，）．∴x的取值范围是（2，）．故选：C由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可．此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7.解：∵an=[（）n-（）n]，∴a1===1，同理可得：a2=1，a3=2，a4=3，a5=5．故选：B．利用通项公式即可得出．本题考查了裴波那契数列、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.解：由正项等比数列{an}的性质可得：a1•a2022=a2•a2022=…=a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2022=lg（a1a2•…•a2022•a2022）==-2022．故选：D．由正项等比数列{an}的性质可得：a1•a2022=a2•a2022=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．-13-\n9.解：∵关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，1），∴a＜0，且=1．则不等式＞0即＜0，解得1＜x＜2，故选：C．由题意可得a＜0，且=1，不等式＞0即＜0，由此求得不等式的解集．本题主要考查一次不等式、分式不等式的解法，注意a的符号，体现了转化的数学思想，属于中档题．10.解：∵=，∴可得：（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sinC，∵2Rsin（A-B）=2R（sinAcosB-cosAsinB）=2RsinAcosB-2RsinBcosA=a•-b•=，∴已知等式变形得：（a2+b2）•=（a2-b2）•，∴a2=b2或a2+b2=c2，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D．先利用三角函数的和角公式化左边=2R（sinAcosB-cosAsinB），再利用余弦化成三角形边的关系化简已知等式“（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sinC”，得到a2=b2或a2+b2=c2，从而得出该三角形是等腰三角形或直角三角形．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了转化思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．11.解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8-13-\n日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12.解：∵关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1，另一根小于1，令f（x）=x2+ax+a2-a-2，则f（1）=1+a++a2-a-2=a2-1＜0，求得-1＜a＜1，故选：C．利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的取值范围．本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．13.解：∵an+1=2Sn，∴an=2Sn-1（n≥2），两式相减得：an+1-an=2an，即an+1=3an（n≥2），又∵a1=-1，a2=2S1=-2不满足上式，∴an=，∴Sn=an+1=•（-2）•3n-1=-3n-1，故答案为：-3n-1．通过an+1=2Sn与an=2Sn-1（n≥2）作差，进而可知从第二项起数列{an}构成以-2为首项、3为公比的等比数列，进而计算可得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．14.解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=|x-y+4|，得：y=x+4±z，-13-\n结合图象：若4±z=2，则，|z|=2，若4±z=-1，则|z|=5，故答案为：5．画出满足条件的平面区域，结合图象求出|z|的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15.解：如图所示，由射影定理可得：CD2=AD•BD，∴==144．故答案为：144．由射影定理可得：CD2=AD•BD，代入解出即可．本题考查了射影定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.解：设f（a）=-，∴f′（a）=-+=，∵-1＜a＜0，令f′（a）=0，解得a=-2+，当f′（a）＞0，即（-2+，0）单调递减，当f′（a）＜0，即（-1，-2+）单调递增，当a=-2+函数f（a）有最大值，即f（-2+）=，故答案为：-3-2设f（a）=-，求导，根据导数求出函数的最值．本题考查了函数导数和函数的最值的关系，关键时构造函数，属于中档题．17.由于ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2），对a分a=0，a＜0，0＜a讨论，当a＞0时，再比较与2的大小即可求得ax2-2（a+1）x+4＞0的解集．本题考查一元二次不等式的解法，着重考查含参数的不等式的解法，突出考查分类讨论思想的运用，属于中档题．-13-\n18.（1）两边除以an•an+1，由等差数列的定义和通项公式，即可得证，由等差数列的通项公式即可得到；（2）运用数列的求和方法：裂项相消求和，运用不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意运用不等式的性质，属于中档题．19.利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，再利用诱导公式化简，根据C的度数，求出A与B的度数，得到A与B的度数相等，利用等角对等边得到a=b，由a的值求出b的值，然后由a，b及cosC的值，利用余弦定理即可求出c的值．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20.（1）先利用an是Sn与2的等差中项把1代入即可求a1，再把2代入即可求a2的值；（2）利用Sn=2an-2，可得Sn-1=2an-1-2，两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{bn}，直接利用点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，代入得数列{bn}是等差数列即可求通项；（3）先把所求结论代入求出数列{cn}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．本题考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．考查计算能力．21.设出每年应还款的数额，分别求出50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和，列等式后求得每年应还款数．本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，关键是列出贷款和还款本息的等式，是中档题．22.（1）由正弦定理化简可得2sinBcosA=sinB，求得cosA=，进而可求得A=60°．（2）①由正弦定理及已知可求得sinB=，进而可求B的值，再求得DC的值，从而由勾股定理求得AD的值．②由=可求得AB×AC=36，由余弦定理可求得AB2+AC2=72，从而求得：AB+AC=12，即有：AB=AC=12．本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题．-13-