河南省郑州市2022届高三数学上学期期中试题文

河南省郑州市2022届高三数学上学期期中试题文学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合,,则（）A.（0,2）B.[0,2]C.（0,2]D.{0,1,2}2.sin（-300°）的值是（　　）A.32B.-12C.12D.-323.已知集合，为集合到集合的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（）A.7种B.4种C.8种D.12种4.若向量a=（1，-1），b=（-1，1），c=（5，1），则c+a+b=（　　）A.aB.bC.cD.a+b5.设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.和均为的最大值6.在△ABC中，已知a=23，b=4，则角A的取值范围为（　　）A.（0，π6]B.（0，π3]C.（0，2π3]D.（π3，2π3]7.已知函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是π，将函数y=3cos（ωx-π2）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移π8个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数f（x）=（　　）A.3sin（2x-π8）B.3sin（2x-π4）C.3sin（2x+π8）D.3sin（2x+π4）8.设△ABC的三内角A.B.C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9.函数的图象是（）13\nA.B.C.D.1.O为平面上的一个定点，A.B.C是该平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A.以AB为底边的等腰三角形B.以BC为底边的等腰三角形C.以AB为斜边的直角三角形D.以BC为斜边的直角三角形2.设p:在内单调递增,q:,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，函数y=log24x图象上的两点A，B和y=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q=（　　）A.12B.123C.6D.63第II卷二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）4.计算=．5.若三点（2，-3），（4，3）及（5，k2）在同一条直线上，则k的值等于______．6.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是．7.已知函数，若函数y=f（f（x））+1有4个不同的零点，则实数a的取值范围是．13\n三、解答题1.（本小题满分12分）设函数的定义域为，命题与命题,若真，假，求实数的取值范围．2.求AB的值；若c=2，求ABC面积的最大．3.（本小题满分12分）若对任意x∈R，不等式＞sinθ-1恒成立，求θ的取值范围.4.（本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式;（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.13\n1.已知函数f（x）=a•ex+a+1x-2(a+1)(a＞0)．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求a的取值范围．2.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（1）证明：∠D=∠E；（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．3.在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为y=bsinϕx=acosϕ（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点M(1，32)对应的参数ϕ=π3，射线θ=π3与曲线C2交于点D(1，π3)．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），B(ρ2，θ+π2)在曲线C1上，求1ρ12+1ρ22的值．13\n1.（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围.13\n答案和解析【答案】1.D    2.A    3.A    4.C    5.C    6.B    7.B    8.D    9.A    10.B    11.B    12.B    13.14.1215.（-∞,0∪4，＋∞）16.17..18.解：在AB中，∵b=asinC+cA，由正弦定理可：sinB=sisinC+snCcoA，∴C=π4，∴cosin=snAsinC，由余弦理可得：c2=a2+b2-2absC，∴2=+-2ab，又sinB=i[π-（A+）sn（+C）=sinCcsAcosCsinAsinsinCinCcosA，∴cos=snC可得anC=1，C∈（，π）．∴+B=3π4．S△AC=12absiC≤12×2+2)×22=1+22．19.（2kπ-，2kπ+）k∈Z.20.（1）;（2）10.21.（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ex+2x-4，∴f′（x）=ex-2x2，∴f′（1）=e-2，∵f（1）=e-2，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：（e-2）x-y=0．（Ⅱ）∵f（x）=a•ex+a+1x-2(a+1)(a＞0)．∴f′（x）=ax2ex-(a+1)x2，令g（x）=ax2ex-（a+1），则g′（x）=ax（2+x）ex＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵g（0）=-（a+1）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，∴存在x0∈（0，+∞），使g（x0）=0，且f（x）在（0，x0）上单调递减，f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∵g（x0）=ax02ex0-（a+1）=0，∴ax02ex0=a+1，即aex0=a+1x02，∵对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，∴f（x）min=f（x0）=aex0+a+1x0-2（a+1）≥0，∴a+1x02+a+1x0-2（a+1）≥0，13\n∴1x02+1x0-2≥0，∴2x02-x0-1≤0，解得-12≤x0≤1，∵ax02ex0=a+1，∴x02ex0=a+1a＞1，令h（x0）=x02ex0，而h（0）=0，当x0→+∞时，h（x0）→+∞，∴存在m∈（0，+∞），使h（m）=1，∵h（x0）=x02ex0在（0，+∞）上，∴x0＞m，∴m＜x0≤1，∵h（x0）=x02ex0在（m，1]上∴h（m）＜h（x0）≤h（1），∴1＜a+1a≤e，∴a≥1e-1．22.（1）详见解析;（2）详见解析.23.解：（I）∵曲线C1上的点M(1，32)对应的参数ϕ=π3，∴32=bsinπ31=acosπ3，解得b=1a=2，∴曲线C1的直角坐标方程为：x24+y2=1．∵曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=π3与曲线C2交于点D(1，π3)．∴圆的直径2R=1cosπ3=2，∴曲线C2的方程为（x-1）2+y2=1．（II）把y=ρsinθx=ρcosθ代入曲线C1的直角坐标方程：x24+y2=1．可得ρ2=41+3sin2θ．∴1ρ12+1ρ22=1+3sin2θ4+1+3sin2(θ+π2)4=2+3sin2θ+3cos2θ4=2+34=54．24.（1）或;（2）.【解析】1.试题分析：=,=，所以{0,1,2}.考点：集合的交集运算.2.解：sin（-300°）=sin（360°-300°）=sin60°=32故选A．根据诱导公式sin（α+2π）=sinα转化成特殊角三角函数值解之．本题考查诱导公式及特殊角三角函数值，可按照“负角化正角，大角化小角”的原则化简求值．3.试题分析：由于B中有3个元素，且非空集，所以函数值域C的情况共有种.考点：函数的值域.4.解：∵a=（1，-1），b=（-1，1），c=（5，1），∴c+a+b=（1-1+5，-1+1+1）13\n=（5，1）故选C向量的坐标形式的加法运算，只要把横坐标相加做和的横坐标，把纵坐标相加作为和的纵坐标即可．做完后要和答案对应．向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视．5.试题分析：由得，即，又∵，∴，∴，故B正确；同理由，得，∵，故A正确；而C选项，即，可得，由结论，显然C选项是错误的．事实上，∵，∴与均为的最大值，故D正确；故选C．考点：等差数列的前n项和公式和.6.解：△ABC中，已知a=23，b=4，由正弦定理可得asinA=bsinB，即23sinA=4sinB，∴sinA=32sinB∈（0，32]．再根据大边对大角可得B＞A，故A为锐角，∴A∈（0，π3]，故选：B．由条件利用正弦定理可得sinA=32sinB∈（0，32]．再根据大边对大角可得B＞A，故A为锐角，从而得到A的范围．本题主要考查正弦定理的应用，得到sinA∈（0，32）．是解题的关键，属于基础题．7.解：∵函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是2πω=π，∴ω=2．将函数y=3cos（ωx-π2）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移π8个单位，得到函数y=f（x）=3cos[2（x-π8）-π2]=3cos（2x-π4-π2）=3sin（2x-π4）的图象，故选：B．由条件根据诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.试题分析：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴①；又成等比数列，∴，②由①②得：13\n,∴，又∴．故选D考点：1.等比数列;2.解三角形.9.∵令，，所以f（x）是偶函数，所以图象关于y轴对称，当时，，故选A．考点：对数函数的图象与性质.10.试题分析：设BC的中点为D，∵，∴∴，∴⊥，故的BC边上的中线也是高线．故是以BC为底边的等腰三角形，故选B．考点：三角形的形状判断.11.试题分析：由题意得，∵在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即在定义域内恒成立，由于，当且仅当，即时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有，∴不能得出但当时，必有成立，即在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件，故选B．考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.必要条件、充分条件与充要条件的判断.12.解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC=2，2+log2p=q，∴p=2q-2，∴4p=2q；又x0-p=3，∴p=x0-3，∴x0=p+3；又2+log2x0-q=1，∴log2x0=q-1，x0=2q-1；∴p+3=2q-1；2p+23=2q=4p，∴p=3，∴p2×2q=3×43=123．故选B．根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果．本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．13\n13.试题分析：函数表示以（-2,0）为圆心，半径为1的圆的的面积，故=.考点：定积分.14.解：∵三点共线且为直线∴设y=kx+b（k≠0）过上述三点将（2，-3），（4，3）代入上式可得2k+b=-3…①4k+b=3…②由①②，得k=3，b=-9∴y=3x-9∵直线过点（5，k2）所以将该点代入上式，得k2=15-9∴k2=6∴k=12．故答案为：12先利用（2，-3），（4，3），求得直线方程，再将点（5，k2）代入，即可求得k的值本题的考点是三点共线，主要考查直线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．15.试题分析：由等差数列的性质知；由等比数列的性质知，所以，当且仅当x=y时取等号．故答案为：4．考点：等差数列与等比数列的综合．16.试题分析：函数的零点，即方程的解个数，（1）当a=0时，，图象如图1，当x＞1时，成立，∴方程有1解当0＜x＜1，，∴方程无解，当x≤0时，f（x）=1，f（f（x））=0，∴，∴f（f（x））=-1有1解，故a=0不符合题意，（2）当a＞0时，图象如图2，当x＞1时，，f（f（x））=-1成立，当0＜x＜1，，∴方程f[f（x）]=-1有1解，当时，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））=-1有1解，当时，f（x）＜0，∴f（f（x））=-1有1解，,故，f（f（x））=-1有4解;（3）当a＜0时，图象如图3，当x＞1时，，f（f（x））=-1成立，∴f（f（x））=-1有1解，当0＜x≤1时，f（x）≤0．f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，当x≤0时，f（x）≥1，f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，故f（f（x））=-1有313\n解，不符合题意，综上；a＞0故答案为：（0，+∞）.考点：函数零点的判定定理．17.试题分析：由于真，假，可知和一真一假，先根据题意假设和全真，求出其范围，再根据补集求出各自假的条件，再根据和一真一假分类讨论，即可求出.试题解析：解：．若，则，即；若，则，即．若真假，则无解；若假真，则解得或．综上，．考点：1.命题真假的判断；2.逻辑连接词.18.由b=ainC+ccosA，由正弦定理可：snB=snsinCsiCcosA又sB=si（A+）=sinCs+csCsnA，得tanC=1，∈（0，）即可得出A+B．由余弦定理可得c2=a+b-2abcosC，再利本不式的性、角形面计算公式可得出．本考查正弦定理余定、和差公式、基本不等式的性质、角形面计算公考查推能力与计算能，属于中档题．13\n19.试题分析：对原不等式化简变形为：恒成立，令得：恒成立等价于，可得即据此即可求出θ的取值范围.试题解析：解：原不等式变形为：令得：∴2kπ-＜θ＜2kπ+k∈Z所以得范围是（2kπ-，2kπ+）k∈Z考点：1.恒成立问题；2.三角函数的性质.20.试题分析：（1）设这二次函数,利用导函数为,即可求出，又因为点均在函数的图像上，可得.再根据，即可求出结果.（2）由（1）得知＝，利用裂项相消可得＝（1－）.要使（1－）<（）成立的m,当且仅当≤，即m≥10，即可求出满足要求的最小正整数m的值.试题解析：解：（Ⅰ）设这二次函数,则,由于得,所以.又因为点均在函数的图像上，所以.当n≥2时，.当n＝1时，，所以，（）13\n（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,当且仅当≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.考点：1.二次函数的性质；2.数列的递推公式；3.裂项相消求和.21.（Ⅰ）当a=1时求出f（x），求导f′（x），切线斜率k=f′（1），f（1）=e-2，利用点斜式即可求得切线方程；（Ⅱ）对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，等价于f（x）min≥0，利用导数判断函数f（x）的单调性、极值，从而确定其最小值，其中为判定导数符号需要构造函数．本题考查曲线上某点处切线方程的求解及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，正确理解导数的几何意义是关键，至于恒成立问题常常转化为函数最值处理，本题综合性强，难度大．22.试题分析：（1）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（2）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（2）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．23.（I）由于曲线C1上的点M(1，32)对应的参数ϕ=π3，可得32=bsinπ31=acosπ3，解得a，b．即可得出曲线C1的直角坐标方程．由于曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=π3与曲线C2交于点D(1，π3)．可得圆的直径2R=1cosπ3=2，即可得出曲线C2的方程．（II）把y=ρsinθx=ρcosθ代入曲线C1的直角坐标方程：x24+y2=1．可得ρ2=41+3sin2θ13\n．即可得出1ρ12+1ρ22．本题考查了椭圆的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程、圆的极坐标方程与直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.试题分析：（1）不等式或或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．试题解析：（1）当时，或或或（2）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立考点：1.绝对值不等式；2.绝对值函数．13