甘肃省西北师范大学附属中学2022届高三数学上学期期中试题理
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2022-2022-1学期高三年级期中考试试题数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U是实数集R,集合M={x|x<0或x>2},N={x|y=log2(x-1)},则(∁UM)∩N为( )A.{x|1<x<2}B.{x|1≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x<2}2.下列结论中正确的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的否命题是“若x2-3x+2=0,则x≠1”B.命题p:存在x0∈R,sinx0>1,则Øp:任意x∈R,sinx≤1C.若p且q为假命题,则p、q均为假命题D.“x2+2x-3<0”是命题.3.条件p:-2<x<4,条件q:(x+2)(x+a)<0;若q是p的必要而不充分条件,则a的取值范围是( )A.(4,+∞)B.(-∞,-4)C.(-∞,-4]D.[4,+∞)4.已知f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))等于( )A.-3B.3C.-2D.25.已知sin(π-α)=-,且α∈(-,0),则tan(2π-α)的值为( )A.B.-C.±D.6.设函数f(x)=sin(x+),则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为−4πB.y=f(x)的图像关于直线对称x=C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在(,π)单调递增7.设f(x)=x3+bx+c,若导函数f′(x)>0在[-1,1]上恒成立,且f(-)·f()<0,则方程f(x)=0在[-1,1]内根的情况是( )-11-\nA.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根8.将函数y=sin(2x+)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变),再向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于直线对称,则m的最小值为( )A.B.C.D.9.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(w>0,|j|<),y=f(x)的部分图象如图,则f()=( )A.B.C.2+D.2-(第9题)(第10题)10.函数f(x)=的图象如图所示,则m的取值范围为( )A.(-∞,-1)B.(1,2)C.(0,2)D.(-1,2)11.定义运算=ad-bc,若cosα=,,0<β<α<,则β=( )A.B.C.D.12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f′(x),若f′(x)<f(x),且f(x+1)=f(3-x),f(2015)=2,则不等式f(x)<2ex-1的解集为( )A.(1,+∞)B.(e,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线3x+y+1=0,则点P的坐标是________.14.若函数f(x)在R上可导,f(x)=x3+x2f′(1),则=________.15.已知函数f(x)=xcosx,现给出如下命题:①当xÎ(-4,-3)时,f(x)>0;②f(x)在区间(5,6)上单调递增;③f(x)在区间上有极大值;④存在M-11-\n>0,使得对任意xÎR,都有|f(x)|≤M.其中真命题的序号是.16.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=.(I)求函数f(x)的单调递减区间;(II)若△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,f(A)=,a=,sinB=2sinC,求c.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,且PA=AD=1,AB=2,∠PAB=120°,∠PBC=90°.(I)平面PAD与平面PAB是否垂直?并说明理由;(II)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图如图所示,规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败.(I)求图中a的值;(II)根据已知条件完成下面2´2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?(III)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取3人进行约谈,记这3人中晋级失败的人数为X,求X的分布列与数学期望E(X).晋级成功晋级失败合计男16-11-\n女50合计参考公式:,其中-11-\n20.(本小题满分12分)已知椭圆离心率为,点P(0,1)在短轴CD上,且.(I)求椭圆E的方程;(II)过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若,求直线l的方程.21.(本小题满分12分)已知函数.(I)讨论的导函数的零点个数;(II)当时,证明:.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l:(t为参数)与曲线C相交于M,N两点.(I)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(II)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.23.(本小题满分10分)已知函数f(x)=|x-1|.(I)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;(II)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证:>.-11-\n2022-2022-1学期年级期中考试参考答案高三数学(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案CBBDADCCABDA二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(-ln3,3)14.-4.15.①②16. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)【解析】:(Ⅰ)…………………2分由,,得,…………………5分∴函数的单调递减区间为,…………………6分(II)∵,,∴…………………8分∵,∴由正弦定理,得…………………10分又由余弦定理,,得.解得…………………12分18.(12分)【解析】(I)平面平面;………………1分证明:由题意得且又,则…………………………3分则平面,………………5分故平面平面………………6分(Ⅱ)以点A为坐标原点,AB所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如右图示,则,,-11-\n可得,………………………7分设平面PCD的法向量为,则,令x=2得,……………………………………9分又平面ABCD的一个法向量为,……………………………………10分EF设平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小为θ,显然为锐角θ,∴cosθ==.……………………………………12分方法二:过点P作BA的垂线交BA的延长线于点F,过点F作EF⊥AB,交CD的延长线于点D.则∠PEF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.…………………8分∵PA=1,∠PAB=120°,∴PF=,又EF=AD=PA=1,∴PE=,…………………10分∴∠PEF=.…………………12分19.(12分)【解析】Ⅰ由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知,解得;…………………2分Ⅱ由频率分布直方图知,晋级成功的频率为,所以晋级成功的人数为人,填表如下:晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100……………4分假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得,……………6分所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;……………7分-11-\nⅢ由频率分布直方图知晋级失败的频率为,将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,这人晋级失败的概率为,所以X可视为服从二项分布,即,…………8分,故,,,,所以X的分布列为X0123…………11分数学期望为,或 ………12分20.(12分)【解析】(1)由题意,e=,得a=又C(0,b),D(0,-b).∴=(b-1)(-b-1)=-1,∴b2=2∴a=2,所以椭圆E的方程为.¼¼¼¼¼¼4分(2)当直线l的斜率不存在时,,,,不符合题意,不存在这样的直线.¼¼¼¼¼¼6分当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1.A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程,整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,-11-\n由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,¼¼¼¼¼¼8分由得,(x2,y2-1)=(-x1,1-y1),∴x2=-x1,∴x1=,x12=,解得k2=,∴k=,所以直线l的方程为y=x+1.¼¼¼¼¼¼12分21.(12分)【解析】(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),.……2分若,由,没有零点;.……3分若或,由,,,有一个零点;.……4分若,由,,没有零点..……5分综上所述,当或时有一个零点;当时没有零点..……6分(Ⅱ)由(1)知,,时当时,;当时,.故在单调递增,在单调递减..……7分所以在取得最大值,最大值,.……8分即.所以等价于,即,其中..……10分设,则.-11-\n当时,;当时,.所以在单调递增,在单调递减.故当时取得最大值,最大值为.……11分所以当时,.从而当时,即..……12分22.(10分)【解析】(Ⅰ)把代入ρsin2θ=2acosθ,得y2=2ax(a>0),…………2分由(t为参数),消去t得x-y-2=0,……………4分∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2ax(a>0),x-y-2=0.……5分(II)将(t为参数)代入y2=2ax,整理得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.……………7分设t1,t2是该方程的两根,则t1+t2=2(4+a),t1·t2=8(4+a),……………8分∵|MN|2=|PM|·|PN|,∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,∴8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a),∴a=1.……………10分23.(10分)【解析】(Ⅰ)f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|=当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-;……………1分当-3≤x<时,-x+4≥8无解;……………2分当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2.……………3分所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为.……………5分-11-\n(II)证明:>等价于f(ab)>|a|,即|ab-1|>|a-b|.……………7分因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立.……………10分-11-
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