福建省泉州市泉港区2022届高三数学上学期期中试题理
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2022-2022学年上学期期中考试高三数学(理科)试题(考试时间:120分钟总分:150分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.已知全集U=Z,A={-1,0,1,2},B={x|x2=x},则A∩B为()A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}2.命题“”的否定形式是( )A.B.C.D.3.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若||=3,||=1且(+)•=-2,则cos<,>=( )A.-B.-C.-D.5.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于( )A.4B.5C.6D.76.已知则( )A.C>b>aB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c-15-\n7.已知函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-)=( )A.-B.-C.D.8.曲线在x=1处的切线的倾斜角为α,则cosα+sinα的值为( )A.B.C.D.9.若,则函数的两个零点分别位于区间()A.和内B.和内C.和内D.和内10.函数=的部分图像如图所示,则的单调递减区间为()(A)(B)(C)(D)11.在锐角三角形中,,为边上的点,与的面积分别为和.过作于,于,则()12.已知函数f(x)=,关于x的方程f2(x)-2af(x)+a-1=0(a∈R)有3个相异的实数根,则a的取值范围是( )A.(,+∞)B.(-∞,)C.(0,)D.{}-15-\n二、填空题:(本大题4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置).13.若_________.14.15.已知,满足约束条件,若的最小值为,则16.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为________三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设数列的前项和为,且.(Ⅰ)求证数列是等比数列,并求的通项公式;(Ⅱ)设数列的前n项和为,求的表达式;18.(本小题满分12分)已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.-15-\n20.(本小题满分12分)已知抛物线,直线与交于,两点,且,其中为坐标原点.(1)求抛物线的方程;(2)已知点的坐标为(-3,0),直线、的斜率分别为,,证明:为定值.21.(本小题满分12分)已知函数,且,其中为常数.(1)若函数的图像在的切线经过点,求函数的解析式;(2)已知,求证:;(3)当存在三个不同的零点时,求的取值范围.22.请考生从22、23两题任选1个小题作答,满分10分.如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.-15-\n22.(本小题满分10分以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程是(为参数).(1)求直线和曲线的普通方程;(2)设直线和曲线交于两点,求.23.(本小题满分10)已知函数()(1)当时,解不等式;(2)令,若在上恒成立,求实数的取值范围.泉港一中2022-2022学年上学期期中考试高三数学(理科)试题参考答案(考试时间:120分钟总分:150分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知全集U=Z,A={-1,0,1,2},B={x|x2=x},则A∩B为(D)A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}2.命题“”的否定形式是( B )A.B.C.D.3.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( D )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件-15-\nC.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若||=3,||=1且(+)•=-2,则cos<,>=( C )A.-B.-C.-D.5.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于( A )A.4B.5C.6D.76.已知则( C )A.C>b>aB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c7.已知函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-)=( A )A.-B.-C.D.8.曲线在x=1处的切线的倾斜角为α,则cosα+sinα的值为( A )A.B.C.D.9.若,则函数的两个零点分别位于区间(B)A.和内B.和内C.和内D.和内10.函数=的部分图像如图所示,则的单调递减区间为(C)-15-\n(A)(B)(C)(D)11.在锐角三角形中,,为边上的点,与的面积分别为和.过作于,于,则(B).12.已知函数f(x)=,关于x的方程f2(x)-2af(x)+a-1=0(a∈R)有3个相异的实数根,则a的取值范围是( D )A.(,+∞)B.(-∞,)C.(0,)D.{}二、填空题:(本大题4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置).13.若__3_______.14.已知,,则在方向上的投影为____4_____15.已知,满足约束条件,若的最小值为,则1/216.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为_1830_______三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设数列的前项和为,且.(Ⅰ)求证数列是等比数列,并求的通项公式;(Ⅱ)设数列的前n项和为,求的表达式;解:(Ⅰ)由得,二式相减得:,∴,∴数列是公比为2的等比数列,………………………3分-15-\n又∵.………………………5分(Ⅱ)∵,∴①,②…………8分①-②得,∴.…………………12分18.(本小题满分12分)已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.【答案】(Ⅰ)因为.………………………2分由直线是图象的一条对称轴,可得,………………3分所以,即.………………………………4分又,,所以,故.………………………………………5分所以的最小正周期是.………………………………………………………6分(Ⅱ)由的图象过点,得,即,即.………………………………7分故,……………………………8分由,有,………………………………………………9分所以,得,………………………11分-15-\n故函数在上的取值范围为.……………………12分19.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.解:(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,∵AB=,=,∴是正三角形,………………………3分∴⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB,∵=E,∴AB⊥面,∴AB⊥;…………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,………………………6分∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,………………………7分有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,),设=是平面的法向量,则,即,可取=(,1,-1),………………………9分-15-\n∴==,………………………11分∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为………12分20.已知抛物线,直线与交于,两点,且,其中为坐标原点.(1)求抛物线的方程;(2)点的坐标为(-3,0),记直线、的斜率分别为,,证明:为定值.试题解析:(1)解:设,,联立方程组,消元得,所以,.……………………………………………………………………2分又,……………………………6分所以,从而抛物线的方程为.………………………………………5分(2)因为,,所以,,……………………………………………6分因此…………………………………8分-15-\n又,,……………………………………………………………9分所以.………………11分即为定值.……………………………………………12分[来21.已知函数,且,其中为常数.(1)若函数的图像在的切线经过点,求函数的解析式;(2)已知,求证:;(3)当存在三个不同的零点时,求的取值范围.21.(1)解:在中,取得………………2分………………4分(2)令:,则………………6分时,单调递减,-15-\n时,所以时,………………8分(3)①当时,在上,,递增,至多一个零点,不符题意;………………9分②当时,在上,,递减,至多一个零点,不符题意;………………10分③当时,令,解得,此时,在上递减,在上递增,在上递减,,使得又恰有三个不同的零点:综上所述,的取值范围是………………12分22.请考生从22、23两题任选1个小题作答,满分10分.如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.22.选修4-4:坐标系与参数方程-15-\n以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程是(为参数).(1)求直线和曲线的普通方程;(2)设直线和曲线交于两点,求.解:(Ⅰ)因为,所以由,得…………………………3分因为消去得所以直线和曲线的普通方程分别为和.…………4分(Ⅱ)点的直角坐标为,点在直线上,设直线的参数方程:(为参数),对应的参数为.…………………………7分-15-\n…………………………10分23.选修4-5:不等式选讲已知函数()(1)当时,解不等式;(2)令,若在上恒成立,求实数的取值范围.解:(Ⅰ)依题意得当时,原不等式化为:,解得…………………2分当时,原不等式化为:,解得…………………3分当时,原不等式化为:,解得…………………4分综上可得,不等式的解集为…………………5分(Ⅱ);…………………7;…………………8;…………………9所以的最小值为;-15-\n则,所以解得或……………10分(其它解法类似给分)-15-
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