高一数学第一学期期末试卷1

高一数学第一学期期末试卷一、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）1、已知全集U={0，1，2，3}且={2}，则集合A的真子集共有________个。解：（期中考试第1题）A={0，1，3}，∴集合A的真子集共有23-1=7个。▋2、已知a>1，则不等式a+的最小值为___________。解：a+=a-1++1≥1+2，当且仅当a-1=，即a=1+时等号成立。∴不等式a+的最小值为1+2。▋3、不等式的解集为___________。解：（不等式单元测验第17题）∵，∴，∴(x-4)(x+2)<0，∴解集为(-2，4)。▋4、已知f(x)=x2+4x-6，若f(2m)>f(m+1)，则实数m的取值范围是___________。解：(2m)2+4(2m)-6>(m+1)2+4(m+1)-6，∴3m2+2m-5>0，∴m∈(-∞，)∪(1，+∞)。▋5、函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞，4)上为增函数，则a的范围是__________。解：（函数性质单元测验第8题）对称轴x=a-1≥4，∴a≥5。▋6、幂函数y=f(x)的图像经过点(，2)，则f(x)=__________。解：设f(x)=xk，∴，∴=，∴。▋7、函数f(x)=，反函数为y=，则=__________。解：设=a，∴f(a)=1+2a=9，∴a=3，即=3。▋8、已知log23=m，试用m表示=___________。解：===。▋9、函数y=的定义域为__________。解：ln(4-x)≥0，∴4-x≥1，∴x≤3，∴函数的定义域为(-∞，3]。▋10、已知函数f(x)=2x，它的反函数为y=，则方程f(x)+=0的解是______。（按四舍五入精确到0.1）（提示：利用二分法）解：2x+log2x=0，x=0.4。▋6/6\n函数y=-2x2+4x-1（x∈[0，3]）的最大值是M，最小值是m，则M-m=__________。解：（一课一练P80/7）y=1-2(x-1)2，∴M=1（当x=1时），m=-7（当x=3时），∴M-n=8。▋1、已知函数f(x)=，则不等式f[f(x)]>0的解集为________。解：[0，1]∪[3，4]∪(6，+∞)。▋二、选择题：（本大题共4题，每题3分，满分12分）2、原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()(A)0个(B)1个(C)2个(D)4个解：（集合单元测验第3题）否命题：“若A∪B=B，则A∩B=A”为真命题；逆否命题：“若A∩B=A，则A∪B=B”为真命题。因此逆命题与原命题也为真命题。∴选(D)。▋3、若a<b<0，则下列关系中不能成立的是()(A)(B)(C)|a|>|b|(D)a2>b2解：取a=-2，b=-1，∴，∴(B)不能成立。其余(A)、(C)、(D)都能证明，证明略。∴选(B)。▋4、函数f(x)=的大致图像是()解：（课本P81-82例4）f(x)=，可由函数右移2个单位再上移1个单位而得。∴选(A)。▋5、下列对数运算中，一定正确的是()(A)lg(M+N)=lgM·lgN(B)lg(M·N)=lgM+lgN(C)lnMn=nlnM(D)logab=解：(A)显然错误；取M=-2，N=-1，发现(B)不成立；取M=-2，n=2，发现(C)不成立；(D)一定正确。∴选(D)。▋三、解答题：（本大题共5题，满分40分）6/6\n1、（本题满分6分）解不等式组（答案用区间表示）。解：|x-2|<3，∴-3<x-2<3，∴x∈(-1，5)。…2分x2-4x+3=(x-1)(x-3)≥0，∴x∈(-∞，1]∪[3，+∞)。…2分∴原不等式组的解集为(-1，1]∪[3，5)。▋…2分2、（本题满分6分）已知全集U=R，集合A={x∣x≤a-1}，集合B={x∣x>a+2}，集合C={x∣x<0或x≥4}。若，求实数a的取值范围。解：（练习册P11第8题）显然a-1<a+2，∴=(a-1，a+2]，…2分为使成立，∴①a+2<0，解得a<-2；…2分②a-1≥4，解得a≥5。综上，∴a∈(-∞，-2)∪[5，+∞)。▋…2分6/6\n（本题满分8分，其中第一小题满分4分，第二小题满分4分）小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条。定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条。假定这种围巾的销售量t（条）是售价x（元）（x∈Z+）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响。（1）试写出围巾销售每日的毛利润y（元）关于售价x（元）（x∈Z+）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？解：设t=kx+b，∴，解得k=-2，b=70，∴t=70-2x。…1分（1）y=(x-10)·t=(x-10)·(70-2x)=-2x2+90x-700，…1分∵，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高。…2分（2）设售价x（元）时总利润为z（元），∴z=2000·(x-10)-200·…1分=2000·(25-((35-x)+))≤2000·(25-)=10000元。…1分当35-x=时，即x=25时，取得等号。…1分∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高。▋…1分6/6\n（本题满分10分，其中第一小题满分3分，第二小题满分4分，第三小题满分3分）给出集合A={-2，-1，，，，1，2，3}。已知a∈A，使得幂函数f(x)=xa为奇函数；指数函数g(x)=ax在区间(0，+∞)上为增函数。（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；（2）判断f(x)在(0，+∞)的单调性，并证明；（3）解方程：f[g(x)]=g[f(x)]。解：（1）a=3。…1分∵指数函数g(x)=ax在区间(0，+∞)上为增函数，∴a>1，∴a只可能为2或3。而当a=2时，幂函数f(x)=x2为偶函数，只有当a=3时，幂函数f(x)=x3为奇函数。（只需简单说明理由即可，无需与答案相同）…2分（2）f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数。…1分证明：在(0，+∞)上任取x1，x2，x1<x2，f(x1)-f(x2)==，∵x1<x2，∴x1-x2<0，>0，∴f(x1)-f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)。∴f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数。…3分（3）f[g(x)]=(3x)3=33x，g[f(x)]=，∴33x=，…2分根据指数函数的性质，得3x=x3，∴x1=0，x2=，x3=。▋…1分6/6\n（本题满分10分，其中第一小题满分3分，第二小题满分4分，第三小题满分3分）集合Mk（k≥0）是满足下列条件的函数f(x)全体：如果对于任意的x1，x2∈(k，+∞)，都有f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)。（1）函数f(x)=x2是否为集合M0的元素，说明理由；（2）求证：当0<a<1时，函数f(x)=ax是集合M1的元素；（3）对数函数f(x)=lgx∈Mk，求k的取值范围。解：（1）取x1=2，x2=3∈(0，+∞)，…1分f(x1)=22=4，f(x2)=32=9，f(x1+x2)=52=25>f(x1)+f(x2)，…1分∴函数f(x)=x2不是集合M0的元素。…1分（2）证明：任取x1，x2∈(1，+∞)，f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)=…1分=，…1分∵0<a<1，x1>1，根据指数函数的性质，得，∴，同理，，∴，∴。∴f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)，∴函数f(x)=ax是集合M1的元素。…2分（3）∵对数函数f(x)=lgx∈Mk，∴任取x1，x2∈(k，+∞)，f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)成立，即lgx1+lgx2=lg(x1·x2)>lg(x1+x2)成立，∴x1·x2>x1+x2对一切x1，x2∈(k，+∞)成立，…1分∴对一切x1，x2∈(k，+∞)成立，∵x1，x2∈(k，+∞)，∴∈(0，)，∴≤1，∴k≥2。▋…2分★第（1）题中，只要出现(0，+∞)或R+，即可得1分；第（2）题中，只要出现比差或比商，即可得1分。6/6