高中数学第2次月考综合能力测试新人教A版必修4

第二次月综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第四象限角，则－α一定是(　　)A．第一象限角　　　　　B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案]　A[解析]　－α与α的终边关于x轴对称，则－α是第一象限角．2．(2022·陕西)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤|a|－|b|C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2[答案]　B[解析]　对于A选项，设向量a，b的夹角为θ，∵|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，∴A选项正确；对于B选项，∵当向量a，b反向时，|a－b|≥|a|－|b|，∴B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，故D选项正确，综上选B．3．(2022·玉溪一中月考)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝(　　)A．B．C．－D．－[答案]　D[解析]　∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.4．(2022·福建文)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kB．若b⊥c，则实数k的值等于(　　)A．－B．－12C．D．[答案]　A[解析]　因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－，故选A．5．(2022·泰安模拟)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα等于(　　)A．－1B．－C．D．1[答案]　A[解析]　由sinα－cosα＝得sinα－cosα＝1，即sin(α－)＝1，∴α－＝2kπ＋，k∈Z，∵α∈(0，π)，∴α＝.∴tanα＝tan＝－1.6．(高考全国Ⅰ)若cosα＝－，α是第三象限的角，则(　　)A．－B．C．2D．－2[答案]　A[解析]　∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－，∴＝＝＝12＝＝＝－.故选A．[点评]　考查三角函数的化简与求值及恒等变换的能力．7．将函数y＝cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是(　　)A．y＝cos＋1B．y＝cos＋1C．y＝cos＋1D．y＝cos＋1[答案]　C[解析]　将函数y＝cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得函数y＝cos2的图象，再把y＝cos2的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y＝cos2＋1＝cos＋1.8．(高考湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)A．－16B．－8C．8D．16[答案]　D[解析]　解法1：∵·＝||·||cosA，△ABC为直角三角形，∴·＝||·||·＝||2＝16.故选D．解法2：∵△ACB为直角三角形，∴在上的投影为AC，∴·＝2＝16.[点评]　本题主要考查数量积的基本运算及简单的解三角形知识．在熟练运用知识的基础上由数量积的几何意义结合图象也可直接得出结论．9．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈，若a·b＝，则tan等于(　　)A．B．12C．D．[答案]　C[解析]　由题意，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝，整理得sinα＝.又α∈，则cosα＝－.所以tanα＝－.则tan＝＝.10．(高考湖北)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)A．5B．4C．3D．2[答案]　C[解析]　如右图所示，△ABC中，D是BC边的中点，由＋＋MC＝0易知M是△ABC的重心，∴＋＝2.又∵＝，∴＋＝2＝3，∴m＝3，故选C．[点评]　本题考查平面向量的加法运算及共线向量的关系，属中等难度题．11．(2022·滨州模拟)向量a＝(2,0)，b＝(x，y)，若b与b－a的夹角等于，则|b|的最大值为(　　)A．2B．2C．4D．[答案]　C[解析]　由题意可知a，b不共线且|a|＝2，则有|a|2＝|b－a|2＋|b|2－2|b－a|·|b|cos，即4＝|b－a|2＋|b|2－2|b|·|b－a|×，12即|b－a|2－|b|·|b－a|＋|b|2－4＝0，则判别式Δ＝(|b|)2－4(|b|2－4)≥0，即3|b|2－4|b|2＋16≥0，∴|b|2≤16，即|b|≤4，∴|b|的最大值为4.简解：如图＝a，＝B．则＝b－a，∴∠ABO＝，记∠OAB＝θ，则＝∴|b|＝4sinθ≤4.12．(高考江西)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝(　　)A．B．C．D．[答案]　D[解析]　如右图，取AB的中点D，连接CD，则∠ECF＝2∠ECD，设AB＝2a，则CD＝AD＝a，ED＝，∴tan∠ECD＝＝，∴tan∠ECF＝tan2∠ECD＝＝，故选D．[点评]　本题主要考查平面几何的基本知识及三角函数倍角公式的运算，容易造成将∠ECF当成30°运算而选择C选项，属中等难度题．第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(高考新课标Ⅱ文)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，则φ＝________.[答案]　12[解析]　本题考查三角函数的平移变换y＝cos(2x＋φ)向右平移个单位得，y＝cos[2(x－)＋φ]＝cos(2x－π＋φ)＝sin(2x－π＋φ＋)＝sin(2x＋φ－)，而它与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，令2x＋φ－＝2x＋得，φ＝，符合题意．14．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若a∥b，则实数x＝________.[答案]　[解析]　∵a∥b，∴1－2x＝0.∴x＝.15．(高考山东文)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．[答案]　5[解析]　本题考查了向量的坐标运算及垂直的条件．易知⊥，而＝－＝(3,2－t)，＝(2,2)，∴·＝0，即3×2＋2(2－t)＝0，∴t＝5.16．(高考天津)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.[答案]　[解析]　解法1：建系如下图所示．令B(xB,0)，C(xC，yC)，D(0,1)，∴＝(xC－xB，yC)，＝(－xB,1)．∵＝，∴∴xC＝(1－)xB，yC＝.∴＝((1－)xB，)，又＝(0,1)，∴·＝.12解法2：设BD＝a，则BC＝a，作CE⊥BA交BA的延长线于点E(如下图)，可知∠DAC＝∠ACE，在Rt△ABD中，sinB＝＝.在Rt△BEC中，CE＝BC·sinB＝a·＝，∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝.∴·＝||·||cos∠DAC＝AD·AC·＝.[点评]　本题主要考查解三角形的有关知识及向量数量积的运算，同时考查了转化求解的数学思想方法及运算求解能力，属中档题．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)在△AOB中，C是AB边上的一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝B．(1)当λ＝1时，用a、b表示；(2)用a、b表示.[解析]　(1)当λ＝1时，＝，即C是AB的中点，∴＝(＋)＝a＋B．(2)∵＝λ，∴＝.又＝－＝a－b，∴＝(a－b)．∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋B．1218．(本题满分12分)(2022·重庆文)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．当x∈[，π]时，求g(x)的值域．[解析]　(1)f(x)＝sin2x－cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin(2x－)－，因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－.(2)由条件可知：g(x)＝sin(x－)－.当x∈[，π]时，有x－∈[，]，从而sin(x－)的值域为[，1]，那么sin(x－)－的值域为[，]．故g(x)在区间[，π]上的值域为[，]．19．(本题满分12分)(2022·安阳模拟)已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若||＝||，求的值；(2)若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sinθ·cosθ的值．[解析]　∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)，∴＝(2sinθ－1，cosθ)，＝(2sinθ，cosθ－1)．(1)||＝||，12∴＝，化简得2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.∴＝＝＝－5.(2)＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2sinθ，cosθ)，∴＋2＝(1,2)，∵(＋2)·＝1，∴2sinθ＋2cosθ＝1，∴(sinθ＋cosθ)2＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝－.20．(本题满分12分)(2022·广东揭阳梅州三校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.(1)求f(x)的解析式；(2)若tanα＋＝5，求的值．[解析]　(1)设最高点为(x1,1)，相邻的最低点为(x2，－1)，则|x1－x2|＝(T>0)，∴＝，∴＋4＝4＋π2，∴T＝2π＝，又ω>0，∴ω＝1.∴f(x)＝sin(x＋φ)．∵f(x)是偶函数，∴sinφ＝±1，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．12∵0≤φ≤π，∴φ＝，∴f(x)＝sin(x＋)＝cosx.(2)∵tanα＋＝5，∴＋＝5，∴sinαcosα＝，∴＝＝＝＝＝2sinαcosα＝.21．(本题满分12分)(2022·开封二模)已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C的大小．[解析]　(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，则f(x)＝sin(2x＋)，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)12得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)故增区间为[kπ－，kx＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴a＝.又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinb＝＝×＝.∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝.22．(本题满分12分)(2022·福建理)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经过如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所有得到的图象向右平移个单位长度．(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m的取值范围；②证明：cos(α－β)＝－1.[解析]　解法一：(1)将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos(x－)的图象，故f(x)＝2sinx.从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．12(2)①f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)＝sin(x＋φ)(其中sinφ＝，cosφ＝)．依题意，sin(x＋φ)＝在[0,2π)内有两个不同的解α，β当且仅当||<1，故m的取值范围是(－，)．②因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m<时，α＋β＝2(－φ)，即α－β＝π－2(β＋φ)；当－</b，∴a＝.又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinb＝＝×＝.∵b>