河南省郑州市巩义、中牟、登封等六县2021-2022学年高一数学下学期期末联考试题（Word版附答案）

2021—2022学年下学期期末测评试卷高一数学─、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i为虚数单位，复数z满足，则的值为（）A．B．C．D．12．若数据，，，的方差为2，则数据，，，（a为实数）的方差是（）A．6＋aB．8C．4＋aD．123．设非零向量，，满足，则（）A．B．C．D．4．给定下列四个命题，其中真命题是（）A．垂直于同一直线的两条直线相互平行B．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行C．垂直于同一平面的两个平面相互平行D．若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直5．中国科协公布的一项调查显示，科技工作者每天平均工作时长为8.6小时，一天最长工作时间为16小时．高学历者每天作时间更长，睡眠缺乏情况严重，博士学历的科技工作者每天平均工作时间最长，为9.29小时．同时，博士和硕士学历的科技工作者每周花在运动上的时间都不足5小时，明显少于其他学历群体，科研人员的健康状况不容忽视．某大型研究所共有职工120人，对他们年龄和身体健康情况进行调查，其结果如下表：亚健康健康合计35岁以下40307035~50岁27134050岁以上8210现从该研究所职工中任取1人，则下列结论正确的是（）A．该职工亚健康的概率小于0.6B．该职工健康的概率大于0.5C．该职工的年龄在50岁以上的概率大于0.1D．该职工的年龄不低于35，岁身体健康的概率大于0.1\n6．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．2020年4月，被列入《教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读指导目录（2020年版）》初中段．书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．同时抛四枚均匀的硬币，“至少出现一个反面朝上”的概率是（）A．B．C．D．8．根据如图所示的频率分布直方图，可以估计数据的中位数，众数与平均数，那么这三个数据的60%分位数为（）A．12.5B．13C．13.5D．149．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则b的可能取值是（）A．2B．2.3C．3D．410．的三个顶点对应的复数分别为，，，复数z满足，则z对应的点是的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心11．已知，，，，若△ABC是直角三角形，则k的值为（）A．-1，-2或8B．-1，-2或3C．-2或3D．-1或3\n12．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，，，，，，则点P到平面ABCD的距离为（）A．B．C．2D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若复数与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________．14．袋子中有四个小球，分别写有“梅、兰、竹，菊”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“梅”“兰”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“梅、兰、竹，菊”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次取球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为________．15．开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量最重的宝物之一．1961年，被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．某司机驾车行驶到M处，测得铁塔S在汽车的北偏东15°，与铁塔S相距20公里，汽车继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得铁塔在汽车的北偏东45°，则汽车的速度为________公里/时．16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）\n设z是虚数，是实数，且．（1）求z的实部的取值范围；（2）设，求证：u为纯虚数．18．（12分）杭州是最适宜单车休闲运动的城市之一．某旅游观光单车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．小明、小华两人来该租车点租车骑游（各租一车），设小明、小华不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．（1）求小明、小华两人所付租车费用相同的概率；（2）求小明、小华两人所付租车费用之和为4元的概率．19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，底面ABCD，E是PC的中点，Q是线段PC上的任意一点．求证：（1）平面BDE；（2）20．（12分）个税专项附加扣除的目的是让大部分人能够减轻纳税负担，对各种收入的人群都能起到一定的减税效果，共涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人、婴幼儿照顾等七项专项附加扣除．某学校具有高级职称、中级职称、初级职称的教师分别有72人，108人，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该学校上述教师中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从具有高级职称、中级职称、初级职称的教师中分别抽取多少人?（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的教师有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．具体享受情况如下表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2\n人接受采访．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．ABCDEF子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇婴幼儿照顾〇〇××〇×21．（12分）如图，三棱锥P-ABC中，平面ABC，，，，．（1）求三棱锥A-PBC的体积；（2）在线段PC上是否存在一点M，使得?若存在，求的值，若不存在，请说明理由．22．（12分）如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．（1）求的值；（2）求的值．\n参考答案2021—2022学年下学期期末测评试卷高一数学1．C，则．2．B由题意结合方差的性质可得方差为8．3．A由平方得，则，即，故选A．4．D正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行，故B错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，故C错误；若两个平面，垂直，假设平面内与它们的交线l不垂直的直线与平面垂直，因为，且平面，的交线，所以可得，这与条件l与不垂直相互矛盾，所以假设不成立，原命题成立，故D正确．5．D对于选项A，该职工亚健康的概率为，故A错误；对于选项B，该职工健康的概率为，故B错误；对于选项C，该职工的年龄在50岁以上的概率为，故C错误；对于选项D，该职工的年龄不低于35岁且身体健康的概率为，故D正确．6．B米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r，则，得，所以米堆的体积为（立方尺），（斛）．7．D根据题意可得，基本事件有16个，“至少出现一个反面朝上”的对立事件为“都是正面朝上”，所以“至少出现一个反面朝上”包含的基本事件有15个，其概率为，所以选\nD．8．B众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，则众数是12.5．中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线的横坐标，第一个矩形的面积是0.2，第二个矩形的面积是0.5，故将第二个矩形分成3:2即可，则中位数是13．平均数为．三个数由小到大排列为12.5，13，13，因为，由百分位数的定义可得60%分位数为13，选B．9．B如图，有两解的充要条件是，解得，故b的取值范围是，结合各选项可知选B．10．B由复数的几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，故z对应的点是的外心．11．B因为，所以．因为，所以k＝-3，-2，-1，0，1，2，3．当为直角三角形时，应有，或，或．由，得2k＋4＝0，所以k＝-2．，由，得，所以k＝-1或3．由，得，所以k＝8（舍去）．所以k的值为-1，-2或3，故选B．12．B在中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得．因为PC＝2，BC＝1，，所以，即．因为∠ABC＝90°，所以，又，所以平面PAB．因为平面ABCD，所以平面平面ABCD．在平面PAB内，过点P作，交BA的延长线于点E，如图所示，因为平面平面ABCD＝AB，，所以平面ABCD．\n因为在中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以，所以点P到平面ABCD的距离为．13．，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以，所以．14．由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021，001，130，031，共4组随机数，因此恰好抽取三次就停止的概率约为．15．如图所示，由题意可知∠SMN＝15°+90°＝105°，∠SNM＝45°，SM＝20，∴∠NSM＝30°，在中，由正弦定理可得，即，解得，∴汽车的速度为（公里/时）．16．设球的半径为r，则，得r＝2，所以正三棱柱的高为2r＝4．又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为，所以正三棱柱的侧面积，体积．\n17．（1）设，则．∵ω是实数，∴，又，∴，此时．∵，∴，即z的实部的取值范围为．（2），∵，∴．又，，∴u是纯虚数．18．（1）小明、小华两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为，．租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为，租车费都为2元的概率为，租车费都为4元的概率为．所以小明、小华所付租车费用相同的概率为．（2）设小明、小华两人所付租车费用之和为，则“”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是小明、小华的租车费分别为①0元、4元、②2元、2元，③4元、0元．所以，即两人所付租车费用之和为4元的概率为．19．（1）如图，连接OE，\n在中，O是AC的中点，E是PC的中点，∴，又∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．（2）∵底面ABCD，底面ABCD，∴，∵，且，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，又平面PAC，∴．20．（1）具有高级职称、中级职称、初级职称的教师人数之比为，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25人，因此应从具有高级职称、中级职称、初级职称的教师中分别抽取6人，9人，10人．（2）（ⅰ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，共15种．（ⅱ）由表格知，符合题意的所有可能结果为，，，，，，，，，，．共11种．所以事件M发生的概率．21．（1）因为AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，所以．由平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高，又PA＝1，所以三棱锥A-PBC的体积．（2）在线段PC上存在一点M，使得，此时．如图，在平面PAC内，过点M作交AC于N，连接BN，BM．由平面ABC知，所以．由知，所以，\n在中，，所以，即．由于，故平面MBN．又平面MBN，所以．22．（1）∵，∴，则．所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，在中，由余弦定理得，即AC＝7，所以．