甘肃省张掖市校际联考2021-2022学年高二数学（理）下学期期中考试试题（Word版附答案）

2022年春学期高二年级期中校际联考数学试卷（理科）第I卷（选择题）一、单选题（共60分）1．已知，为实数，且（为虚数单位），则（）A．B．C．D．2．曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．3．的展开式中常数项是（）A．60B．160C．120D．2404．已知整数对排列如下：，，，，，，，，，，，，，……．按以上规律，第70个数对是（）A．B．C．D．5．已知函数，曲线在处的切线的方程为，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）．A．B．C．D．6．设随机变量的分布列为下表所示，且，则（）A．0.2B．C．0.3D．7．某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有四种颜色可供选择，有（）种不同的涂色方案．自由平等公正法制A．24B．256C．108D．72\n8．《世说新语·道旁苦李》有这样一则故事：王戎七岁的时候，曾经和小朋友们一道玩耍，看见路边有李树，结了很多李子，枝条都被压弯了，那些小朋友都争先恐后地跑去摘，只有王戎没有动．有人问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长在大路边上，还有这么多李子，这一定是苦李子．”摘来一尝，果然是这样．这则故事中，王戎判断李子是苦李所用到的数学方法是（）A．反证法B．综合法C．分析法D．分析—综合法9．中国在年月日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等名志愿者参加个不同的社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排名志愿者，名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有（）A．种B．种C．种D．种10．（）A．B．C．D．11．如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，，则四边形的形状是（）A．直角梯形B．菱形C．正方形D．平行四边形12．函数有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题（共20分）13．设复数，满足，，则______．14．现某路口对一周内过往人员进行健康码检查，安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有\n______种．15．对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是______（填序号）．①；②；③；④．16．已知函数，若关于的不等式有且仅有1个整数解，则的取值范围为______．三、解答题（共70分）17．已知展开式中所有项的二项式系数和为16．（1）求的值；（2）求展开式中含的项的系数．18．已知a为实数，函数，．（1）求a的值；（2）求函数在上的极值．19．已知几何体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为4的正方形，EF∥CD，且EF＝ED＝2．（1）求证：AD⊥CF；（2）求平面ADE与平面BCF所成角的大小．20．已知函数．（1）当时，求在点处的切线方程．（2）若在区间上为增函数，求a的取值范围．21．南充市的“名师云课堂”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量\n节数61812（1）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数；（2）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（1）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．22．已知函数（a为非零实数）．（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个极值点，，且，求证：．参考答案1．【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得，进而得解．【详解】由题意知，解得，所以故选：A2．【答案】B【解析】【分析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程．【详解】\n因为，所以曲线在点处斜率为4，所以曲线在点处的切线方程是，即，故选：B3．【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项进行求解．【详解】的展开式的通项为，令，得，即，即展开式常数项为160．故选：B．4．【答案】C【解析】【分析】根据数字的排布规律，观察可以发现，是按照数对的和的大小从小到大排列的，逐次考察和为1，2，3，4，…的数对的个数，得到第70对数是两个数的和为13的数对中，即可得到答案．【详解】解：，两数的和为2，共1个，，两数的和为3，共2个，，两数的和为4，共3个，，两数的和为5，共4个，…，两数的和为n＋1，共n个，∵，∴第70对数是两个数的和为13的数对中，\n对应的数对为，则第70对数为，故选：C．5．【答案】D【解析】【分析】首先根据导数的几何意义可知，由此可得，再根据切点即在曲线上，又在切线上，可得，可得，求出切线方程，再分别令，，求出切线在轴和轴上的截距，再根据面积公式即可求出结果．【详解】由得，则，得，由得加，即，∴切线的方程为，令，得到，令，得到，所求三角形面积为．故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．6．【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，即可求得的值．【详解】由题意可得，解得，因此，．故选：D．7．【答案】C\n【解析】【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先涂“自由”有4种涂法，再涂“平等”有3种涂法，以此类推“公正”有3种涂法，“法制”有3种涂法，按照分步乘法原理可得有种涂法；故选：C8．【答案】A【解析】【分析】根据题干信息中的“路边有李树，结了很多李子，枝条都被压弯了”，采用反证法推理即可．【详解】王戎所用的方法是反证法．首先假设道路旁结的李子是甜李子，那么这条大路边每天人来人往这么多人，李子一定所剩无几了，而李子树现在仍有很多李子，两者相互矛盾，所以假设错误，道旁结的李子是苦李子．故选：A．9．【答案】B【解析】【分析】先将5人按题中要求分成四个组，再将四个组分到四个社区，可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①将名志愿者分为4组，要求甲乙不在同一组，分为2、1、1、1的四组，有种分组方法，②将分好的四组全排列，安排到四个社区，有种安排方法，则有种安排方法，故选：B．10．【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的原函数，再求出函数的定积分；【详解】\n解：．故选：C11．【答案】D【解析】【分析】作图，建立空间坐标系，应用向量的方法即可求解．【详解】设正方体的棱长为a，AE＝x，CF＝y，建立如上图所示的空间直角坐标系，则，，∵在同一个平面内，∴，即，解得，由上图可知，，，同理，，所以四边形是平行四边形；故选：D12．【答案】C【解析】【分析】判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出的范围．【详解】解：令得，\n令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在，上单调递增，作出与的函数图象如图所示：设直线与的图象相切，切点为，则，解得，，，或，，，有两个不同的零点，与的函数图象有两个交点，或，即．故选：C．13．【答案】解析：方法一：设，，，，又，所以，，\n．故答案为：．方法二：如图所示，设复数所对应的点为，，由已知，∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，∴．14．【答案】1200【解析】【分析】先利用相邻捆绑法求得甲乙相邻的安排方法种数，再减去甲乙相邻且甲在周三的安排方法种数即可．【详解】先考虑甲乙相邻的安排方式，将甲乙看做一个整体，连同其余的5人做全排列，然后甲乙两人之间作全排列，有种方法，其中，甲排在周三的安排方式有，∴符合条件的安排方法种数有，故答案为：1200．【点睛】本题考查排列的应用，关键是相邻问题捆绑法和反面问题相减法的应用．15．【答案】①③【解析】【分析】由空间共线向量定理即可求解．【详解】对于①，因为，所以，所以\n，所以共线，所以点P、A、B共线．对于②，因为，所以，所以共线，所以P、O、B共线，点P、A、B不一定共线．对于③，因为，所以，所以，所以共线，所以点P、A、B共线．对于④，因为，所以得，所以，则，所以平行或重合，当平行时，点P、A、B不共线．故答案为：①③．16．【答案】【解析】【分析】利用导数，求出的单调性，通过讨论的符号；结合图象解关于的不等式，结合不等式解的个数求出的范围．【详解】由，，令，解得：，令，解得：，的递增区间为，递减区间为，故的最大值是；时，，时，，，故在时，，在时，，函数的图象如下：\n①时，由不等式得或，而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；②时，由不等式，得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；③时，由不等式，得或，的解集为无整数解，因为在递增，在递减，且，而的解集整数解只有一个，故这一个正整数解只能为1，，；综上，的取值范围是，故答案为：17．【答案】（1）4（2）1【解析】【分析】（1）利用二项式系数和公式进行求解；（2）先写出展开式通项，再令即可求解．（1）解：因为展开式中所有项的二项式系数和为16，所以，解得，即的值为4．（2）解：因为展开式的通项为，令，解得，所以展开式中含的项为，即展开式中含的项的系数为1．\n18．【答案】（1）（2）的极大值为，极小值为【解析】【分析】（1）求出导函数，结合已知条件即可求解；（2）根据函数的单调性与导数的关系，求出函数在的单调区间，从而即可求解函数的极值．（1）解：因为，所以，解得；（2）解：由（1）知，，，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为．19．【答案】（1）证明见解析（2）45°【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，得到AD⊥CD，再由ED⊥平面ABCD，得到ED⊥AD，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先求得平面BCF的一个法向量，再由平面ADE的一个法向量为，然后由求解．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，∵ED⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴ED⊥AD，\n又CD∩ED＝D，CD、ED⊂平面CDEF，∴AD⊥平面CDEF，∵CF⊂平面CDEF，∴AD⊥CF．（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面BCF的一个法向量为，则，即，令y＝1，则x＝0，z＝1，∴，平面ADE的一个法向量为，∴，由图知，平面ADE与平面BCF所成角为锐角，故平面ADE与平面BCF所成角的45°．20．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）当时，求出函数f(x)和导函数，进而利用点斜式方程写出切线方程；（2）在区间上为增函数，即在上恒成立，分离参数求出最值，可得a的取值范围．【详解】（1）当时，，，\n所以曲线在处切线斜率为，所以切线方程为：，即．（2）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以，即的取值范围为．21．【答案】（1）2；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据分层抽样的比例关系求点击量超过3000的节数即可；（2）由题意，知X的可能取值为0，20，40，60，应用古典概型求各取值对应的概率即可得分布列．【详解】（1）根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3000的节数为×6＝2．（2）由分层抽样可知，（1）中选出的6节课中点击量在区间[0，1000]内的有1节，点击量在区间(1000,3000]内的有3节，故X的可能取值为0，20，40，60．P(X＝0)＝＝，P(X＝20)＝＝，P(X＝40)＝＝，P(X＝60)＝，则X的分布列为X0204060P【点睛】本题考查了分层抽样以及应用古典概型求概率，并依此得到分布列，属于简单题．22．（1）定义域为，，\n①当即时，，在上单调递增，②当即时，令，得，当或时，当时，故在和上单调递增，在上单调递减，③当即时，，同理得在上单调递减，在上单调递增．（2）若有两个极值点，，由（1）得，故可化为，而，代入得，而，只需证，令，，当时，，故在上单调递增，当时，，而，故，即证．