北京市门头沟区2022届高三数学一模试题（Word版附答案）

门头沟区2022年高三综合练习（一）高三数学考生须知1．本试卷共6页，共3道大题，21个小题．满分150分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将考试编号填写（或条形码粘贴）在答题卡相应位置处．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】C2.复数对应的点在复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【2题答案】【答案】B3.函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（）A.B.C.D.【3题答案】 【答案】D4.若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A.B.C.D.【4题答案】【答案】C5.已知抛物线，为坐标原点，过其焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，则中点到轴的距离为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】B6.已知，，，则（）A.B.C.D.【6题答案】【答案】A7.“角的终边关于原点对称”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【7题答案】【答案】C8.已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】D 9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（）A.B.C.D.【9题答案】【答案】B10.新型冠状病毒肺炎（）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于月日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自月日开始（单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数，），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（）A.月日~月日B.月日~月日C.月日~月日D.月日~月日【10题答案】【答案】A第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）11.在的展开式中，的系数为_________．（用数字作答）【11题答案】【答案】12.下表记录了某地区一年之内的月降水量.月份123456789101112月降水量/mm584853465656517156536466根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是______；分位数是_________． 【12题答案】【答案】①.56②.6413.在中，，，，则_________；为的中点，则的长为_________．【13题答案】【答案】①.##②.14.请举出一个各项均为正数且公差不为的等差数列，使得它的前项和满足：数列也是等差数列，则_________．【14题答案】【答案】（答案不唯一，满足即可）15.如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：①；②；③直线与底面所成角的正弦值为；④面积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_________．【15题答案】【答案】①④ 三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）16.已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心.（2）根据（1）中确定的，求函数的值域．【16~17题答案】【答案】（1）（2）17.第届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共类志愿服务．（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？（2）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望；（3）万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支 持，通过分层抽样获得如下数据：岁人群其它人群支持不支持支持不支持方案人人人人假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）【17~19题答案】【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）18.如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点．（1）在侧棱上作出点，满足平面，并给出证明；（2）求二面角的余弦值及点到平面的距离．【18~19题答案】 【答案】（1）作图见解析，证明见解析（2），19.已知．（1）当时，判断函数零点的个数；（2）求证：；（3）若在恒成立，求的最小值．【19~21题答案】【答案】（1）一个零点（2）证明见解析（3）20.已知椭圆：的离心率为，长轴的右端点为．（1）求的方程；（2）直线与椭圆分别相交于两点，且，点不在直线上.①试证明直线过一定点，并求出此定点；②从点作垂足为，点，写出的最小值（结论不要求证明）．【20~21题答案】【答案】（1）（2）①证明见解析，；②.21.素数又称质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出． 年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表，具体构造的方法如下：中位于第行第列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第项恰好为，其中；．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.（1）求；（2）证明：；（3）证明：①若在中，则不是素数；②若不在中，则是素数．【21~23题答案】【答案】（1）（2）证明见解析（3）①证明见解析；②证明见解析