苏州工业园区星汇学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷（解析版）

2021-2022学年第二学期期中考试七年级数学注意事项：1．本试卷满分100分，考试时间100分钟；2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效；3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁．一、选择题（本大题共10题，每题2分，共20分，每题只有一个正确答案．）1.下列图形可由平移得到的是（　　）A.B.C.D.2.计算的结果是（）A.B.C.D.3.二元一次方程2x－y＝11的一个解可以是（）A.B.C.D.4.若a＞b，则下列各式中不成立的是（）A.a＋2＞b＋2B.－＋a＜－＋bC.2a＞2bD.－a＜－b5.下列各组线段能组成一个三角形的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，6.下列等式从左往右因式分解正确的是（）A.B.C.D.7.一个多边形的每一个外角都是，这个多边形的内角和为（）A.B.C.D.8.如图，是的中线，是的中线，于点F．若，则长为（）,A.1B.2C.3D.49.小明与爸爸的年龄和是52岁，爸爸对小明说：“当我的年龄是你现在的年龄的时候，你还要16年才出生呢．”如果设现在小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，那么下面方程组正确的是（）A.B.C.D.10.关于x的不等式．若是不等式的解，不是不等式的解，则a的范围为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分．把答案填在答题卷相应位置上．）11.将数0.000000076用科学记数法表示为_____．12.________．13.的解集为，则a的取值范围是_________．14.计算：________．15.若是一个完全平方式，则整数k的值为_______．16.若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．17.如图，正五边形和正六边形有一条公共边，并且正五边形在正六边形内部，连接并延长，交正六边形于点，则______.18.如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图2中，则图3中的度数为_______．,三、解答题（本大题共10题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.计算：．20.分解因式：．21.解不等式组：．22.先化简，再求值：，其中．23.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移(沿网格线方向作上下或左右平移)后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．(1)画出△A'B'C'；(2)在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；(3)试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．24.如图，在ABC中，F、H是BC上的点，FG⊥AC，HD⊥AC，垂足分别为G、D，在AB上取一点E，使∠BED＋∠B＝180°．求证：∠CFG＝∠HDE．,25.端午节快到了，小明准备买粽子过节，若在盱眙某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元，对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折．（1）甲、乙两种品牌粽子每盒的超市价分别是多少元？（2）小明要打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多2盒，总花费不超过1000元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？26.已知：在和中，，，将如图放置，使得的两条边分别经过点B和点C．（1）当将如图①摆放时，______．（2）当将如图②摆放时，试问：等于多少度？请说明理由．（3）如图②，是否存在将摆放到某个位置时，使得，分别平分和？如果存在，请画出图形或说明理由．如果不存在，请改变题目中一个已知条件，使之存在．27.某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道、上，分别放置了、两盏激光灯，如图1所示，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转：灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不同断照射，们每秒转动度，每秒转动度，且满足.若这两条景观道的道路是平行的，即.,（1）求、值：（2）灯先转动秒，灯才开始转动，当灯转动秒时，两灯的光束和到达如图1所示的位置，试问和是否平行?请说明理由：（3）在（2）情况下，当灯光束第一次达到之前，两灯的光束是否还能互相平行，如果还能互相平行，那么此时灯旋转的时间为______秒.（不要求写出解答过程）28.【概念认识】如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．【问题解决】（1）如图②，在中，，，若三分线交于点，则°；（2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；【延伸推广】（3）在中，是外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）,一、选择题（本大题共10题，每题2分，共20分，每题只有一个正确答案．）1.下列图形可由平移得到的是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】解：观察可知A选项中的图形可以通过平移得到，B、C选项中的图形需要通过旋转得到，D选项中的图形可以通过翻折得到，故选：A2.计算的结果是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：．故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3.二元一次方程2x－y＝11的一个解可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把x、y的值代入方程，看看两边是否相等即可．【详解】解：A、∵把代入方程2x-y=11得：左边=2-9=-7，右边=11，左边≠右边，∴不是方程2x-y=11的一个解，故本选项不符合题意；B、∵把代入方程2x-y=11得：左边=8-3=5，右边=11，左边≠右边，∴不是方程2x-y=11的一个解，故本选项不符合题意；,C、∵把代入方程2x-y=11得：左边=10+1=11，右边=11，左边=右边，∴是方程2x-y=11的一个解，故本选项符合题意；D∵把代入方程2x-y=11得：左边=14+3=17，右边=11，左边≠右边，∴不是方程2x-y=11的一个解，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键．4.若a＞b，则下列各式中不成立的是（）A.a＋2＞b＋2B.－＋a＜－＋bC.2a＞2bD.－a＜－b【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A、∵a＞b，∴a+2＞b+2，故本选项不符合题意；B、∵a＞b，∴－＋a＞－＋b，故本选项符合题意；C、∵a＞b，∴2a＞2b，故本选项不符合题意；D、∵a＞b，－a＜－b，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5.下列各组线段能组成一个三角形的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A、3+5=8，不能组成三角形；B、6+4=10，不能组成三角形；C、5+5＞8，能够组成三角形；D、1+4＜6，不能组成三角形．故选C．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．,6.下列等式从左往右因式分解正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A．ab+ac+b=a（b+c）+d不是因式分解，故本选项错误；B．x2-3x+2=（x-1）（x-2）是因式分解，故本选项正确；C．（m+n）2-1=m2+2mn+n2-1不是因式分解，是整式乘法运算，故本选项错误；D．4x2-1=（2x+1）（2x-1），故本选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．7.一个多边形的每一个外角都是，这个多边形的内角和为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用360°÷45°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n-2）•180°计算即可求解．【详解】解：多边形的边数为：360°÷45°=8，多边形的内角和是：（8-2）•180°=1080°．故选：D．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系，以及多边形内角和公式，利用外角和为360°求出多边形的边数是解题的关键．8.如图，是的中线，是的中线，于点F．若，则长为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】因为S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD；所以S△BDE=S△ABC，再根据三角形的面积公式求得即可．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=12，∴S△ABD=S△ABC=6，同理，BE是△ABD的中线，S△BDE=S△ABD，,∴S△BDE=S△ABC，∵S△BDE=BD•EF，∴BD•EF=S△ABC，又∵△ABC的面积为12，BD=3，∴EF=2，故选B．【点睛】此题考查了三角形的面积，要理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解．9.小明与爸爸的年龄和是52岁，爸爸对小明说：“当我的年龄是你现在的年龄的时候，你还要16年才出生呢．”如果设现在小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，那么下面方程组正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】可设现在小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据“小明与爸爸的年龄和是52岁”，小明与爸爸的年龄差不变得出16+x=y-x，列出方程组即可．【详解】解：设小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，依题意有：，即．故选：C．【点睛】此题考查由实际问题列方程组，注意找出题目蕴含的数量关系解决问题．10.关于x的不等式．若是不等式的解，不是不等式的解，则a的范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据x=1是不等式x+a≥1的解，且x=-1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【详解】解：∵x=1是不等式x+a≥1的解，∴1+a≥1，解得：a≥0，∵x=-1不是这个不等式的解，∴-1+a＜1，解得：a＜2，∴0≤a＜2，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分．把答案填在答题卷相应位置上．）11.将数0.000000076用科学记数法表示为_____．【答案】7.6×10﹣8．【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．,【详解】解：0.000000076＝7.6×10﹣8，故答案为7.6×10﹣8．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12.________．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式的特点，左边第一个括号为m和n的和，等式右边为n和m的平方差，即可得出左边弥补的内容．【详解】解：因为，故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式．熟练掌握平方差公式的构成是解题关键．13.的解集为，则a的取值范围是_________．【答案】a＜1【解析】【分析】直接利用不等式的性质，得出a-1＜0，进而得出答案．【详解】解：∵不等式（a-1）x＞2的解集是，∴a-1＜0，解得：a＜1．故答案为：a＜1．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，正确得出a-1的符号是解题关键．14.计算：________．【答案】【解析】【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形计算即可．【详解】解：====,故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则的逆用．15.若是一个完全平方式，则整数k的值为_______．【答案】±4【解析】【分析】完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2-2ab+b2，根据以上内容得出kx=±2x•2，求出即可．【详解】解：∵x2-kx+4是一个完全平方式，∴kx=±2•x•2，解得：k=±4．故答案为：±4．【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，能根据题意得出kx=±2•x•2是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．16.若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．【答案】3【解析】【分析】把方程组的两个方程相加，得到3x+3y=6m，结合x+y=6，即可求出m的值．【详解】∵，∴3x+3y=6m，∴x+y=2m，∵x+y=6，∴2m=6，∴m=3，故答案为3．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解.解答本题的关键是把方程组的两个方程相加得到x，y与m的一个关系式.17.如图，正五边形和正六边形有一条公共边，并且正五边形在正六边形内部，连接并延长，交正六边形于点，则______.【答案】84【解析】【分析】据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．【详解】解：正五边形的内角是∵AB=BC，,∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°-120°-120°-36°=84°，故答案为84．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．18.如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图2中，则图3中的度数为_______．【答案】15°【解析】【分析】利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠BFE，利用折叠的性质求出∠BFC的度数，再利用角的和差求出∠CFE．【详解】解：∵AE∥BF，∴∠BFE=180°-∠AEF=65°，∵2∠BFE+∠BFC=180°，∴∠BFC=180°-2∠BFE=50°，∴∠CFE=∠BFE-∠BFC=15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角的计算，通过角的计算，求出∠BFE的度数是解题的关键．三、解答题（本大题共10题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.计算：．【答案】0【解析】【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：==0【点睛】,此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.分解因式：．【答案】【解析】【分析】利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式．21.解不等式组：．【答案】-3＜x≤1【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x＞-3，不等式组的解集是-3＜x≤1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22.先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式展开后，合并同类项把原式化简，然后将和的值代入计算即可得出答案．【详解】，当，∴原式,．【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．23.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移(沿网格线方向作上下或左右平移)后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．(1)画出△A'B'C'；(2)在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；(3)试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．【答案】(1)所求△A'B'C'如图所示，详见解析；(2)点P的位置如图所示，详见解析；(3)格点Q的位置如图所示，详见解析．【解析】【分析】（1）画出A、B、C的对应点A'、B'、C'，顺次连接A'、B'、C'即可；（2）根据等底同高的两个三角形面积相等即可判断点P是BC的中点；（3）分两种情况分别求解即可．【详解】（1）如图所示，已知C'的位置，根据平移的性质可确定A'、B'的位置，顺次连接A'、B'、C'，（2）如图所示，点P是线段BC的中点．设△ABC的高为h，∵点P在线段BC上，要使AP平分△ABC的面积，即S△ABP＝S△ACP，∴BP×h＝CP×h，∴BP＝CP，∴点P是BC的中点；（3）由题意可知：S△A'B'C'＝5，∴当S△Q1B'C'＝4或S△Q2A'C'＝4时即可，∵B'、A'到直线l的距离分别是2、4，∴Q1C'＝4,C'Q2＝2，如图，点Q1，Q2即为所求．,【点睛】本题考查作图-平移变换及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学知识，属于中考常考题型．24.如图，在ABC中，F、H是BC上点，FG⊥AC，HD⊥AC，垂足分别为G、D，在AB上取一点E，使∠BED＋∠B＝180°．求证：∠CFG＝∠HDE．【答案】见解析【解析】【分析】由FG⊥AC，HD⊥AC可得FG∥HD，进而可得∠CFG＝∠CHD，由∠BED＋∠B＝180°可得BC∥ED，于是可得∠CHD＝∠HDE，进一步即可推出结论．【详解】证明：∵HD⊥AC，FG⊥AC，∴∠CDH＝∠CGF＝90°．∴FG∥HD．∴∠CFG＝∠CHD．∵∠BED＋∠B＝180°，∴BC∥ED．∴∠CHD＝∠HDE．∴∠CFG＝∠HDE．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．25.端午节快到了，小明准备买粽子过节，若在盱眙某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元，对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折．（1）甲、乙两种品牌粽子每盒超市价分别是多少元？（2）小明要打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多2盒，总花费不超过1000元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？【答案】（1）甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；（2）7．【解析】,【分析】（1）设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，根据“在超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子（a+2）盒，根据总价=单价×数量，结合总花费不超过1000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之，取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】(1)设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，依题意,得：，解得：．即甲品牌粽子的超市价为每盒70元，乙品牌粽子的超市价为每盒80元．(3)设买甲品牌粽子a盒,则买乙品牌粽子(a+2)盒，依题意,得：70×0.8a+80×0.75(a+2)⩽1000，解得：a⩽，∴a的最大整数解为a=7.即最多可以买7盒甲品牌粽子．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等关系是解题关键．26.已知：在和中，，，将如图放置，使得的两条边分别经过点B和点C．（1）当将如图①摆放时，______．（2）当将如图②摆放时，试问：等于多少度？请说明理由．（3）如图②，是否存在将摆放到某个位置时，使得，分别平分和？如果存在，请画出图形或说明理由．如果不存在，请改变题目中的一个已知条件，使之存在．【答案】（1）96；（2）320°；（3）不存在，详见解析【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理得：∠D=180°-（∠E+∠F）=68°，∠DBC+∠DCB=180°-∠D=112°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=152°，求出∠ABF+∠ACE=180°-（∠ABC+∠DBC）+180°-（∠ACB+∠DCB），即可得出结果；（2）由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=152°，∠D=68°，∠BCD+∠CBD=180°-∠D=112°，得出∠ABD+∠ACD=（∠ABC+∠ACB）-（∠BCD+∠CBD）=40°，再由平角的性质即可得出结果；（3）假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°,，与三角形内角和定理矛盾，所以不存在．如果存在，根据两内角平分线模型，可知∠D=90°+∠A，题中∠D=80°，∠A=36°，只要∠E+∠F=100°改成∠E+∠F=72°即可．【详解】解：（1）由三角形内角和定理得：∠D=180°-（∠E+∠F）=180°-112°=68°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠D=112°，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=152°，∴∠ABF+∠ACE=180°-（∠ABC+∠DBC）+180°-（∠ACB+∠DCB）=360°-112°-152°=96°；故答案为：96；（2）∠ABF+∠ACE=316°；理由如下；在△ABC中，∠A=28°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=152°，在△DEF中，∠E+∠F=112°，∴∠D=180°-100°=68°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠D=112°，∴∠ABD+∠ACD=（∠ABC+∠ACB）-（∠BCD+∠CBD）=152°-112°=40°，∴∠ABF+∠ACE=180°-∠ABD+180°-∠ACD=360°-（∠ABD+∠ACD）=360°-40°=320°；（3）不存在．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=112°，那么∠ABC+∠ACB=224°，与三角形内角和定理矛盾，∴不存在；如果存在，可知∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=90°+∠A，题中∠D=68°，∠A=28°，∴只要∠E+∠F=112°改成∠E+∠F=76°．【点睛】此题考查三角形内角和定理，外角性质以及平角性质．熟练掌握这些性质是解题关键．27.某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道、上，分别放置了、两盏激光灯，如图1所示，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转：灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不同断照射，们每秒转动度，每秒转动度，且满足.若这两条景观道的道路是平行的，即.,（1）求、的值：（2）灯先转动秒，灯才开始转动，当灯转动秒时，两灯的光束和到达如图1所示的位置，试问和是否平行?请说明理由：（3）在（2）的情况下，当灯光束第一次达到之前，两灯的光束是否还能互相平行，如果还能互相平行，那么此时灯旋转的时间为______秒.（不要求写出解答过程）【答案】（1）；（2）AM′和BP′平行，理由见解析；（3）69秒或125秒或141秒．【解析】【分析】（1）利用非负数性质构建方程组即可解决问题．（2）AM′和BP′平行．证明∠AEB=∠MAM′即可．（3）能，设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷1=180（秒），推出t≤180-15，即t≤165．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可．【详解】解：（1）∵|a-4b|+（a+b-5）2=0，|a-4b|≥0，（a+b-5）2≥0，解得（2）AM′和BP′平行，理由如下由题意，得∠MAM′=5×4°=20°，∠PBP′=（15+5）×1°=20°，∵MN∥QP，∴∠AEB=∠PBP′=20°，∴∠AEB=∠MAM′，∴AM′∥BP′．（3）t值为69秒或125秒或141秒．能，设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷1=180（秒），,∴t≤180-15，即t≤165．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①4t=15+t，解得t=5（不符合题意，舍去）；②4t-180+t+15=180，解得t=69；③4t-360=15+t，解得t=125；④4t-540+t+15=180，解得t=141；⑤4t-720=15+t，解得t=245（不符合题意，舍去）．综上所述，满足条件的t的值为69秒或125秒或141秒．故答案为69秒或125秒或141秒．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28.【概念认识】如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．【问题解决】（1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则°；（2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；【延伸推广】（3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）【答案】（1）85或100；（2）45°；（3）情况一：；情况二：；情况三：；情况四：①当时，；②当时，【解析】【分析】（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数；（2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB=135°，进而可求∠A的度数；（3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A=m°，∠B=n°，即可求出∠BPC的度数．【详解】解：（1）如图，,当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C=70°+15°=85°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C=70°+30°=100°；故答案为：85或100；（2）∵∴，∴又∵分别是邻三分线和邻三分线，∴，∴∴在中，∴（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，；,情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，；情况四：，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，①当时，如图④；②当时，如图⑤；,【点睛】本题考查了三角形的外角性质的运用，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意数形结合，分情况讨论