2020-2021学年北京市昌平区八年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年北京市昌平区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.81的算术平方根的平方根是(    )A.9B.-9C.3D.±32.如图，∠A=120°，且∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，则∠BDC=(    )A.120°B.60°C.140°D.无法确定3.剪纸是我国最普及的民间艺术．下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是(    )A.B.C.D.4.以3，4为两边长的三角形的第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为                                                            (    )A.15或12B.12C.15D.以上都不对5.下列格式中，属于最简二次根式的是(    )A.5a2bB.xyxC.15D.276.掷一颗质地均匀且六个面上分别刻有1到6点的正方形骰子，观察向上的一面的点数，下列属于不可能事件的是(    )A.出现的点数是3B.出现的点数为偶数C.出现的点数不会是0D.出现的点数是87.若分式xx-1有意义，则x的取值范围是(    )A.x>1B.x=1C.x<1D.x≠18.如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD 交于点F，连接OC，FG，则下列结论中：①AE=BD；②AG=BF；③FG//BE.其中正确结论的个数(    )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.已知y=x-3x-2，则x的取值范围是______．10.xy2÷x2y3的运算结果是______．11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=44°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为______．12.一个正方形的面积为15，则边长x的小数部分为______．13.为提升英语听力及口语技能，小明打算在手机上安装一款英语口语APP辅助练习．他分别从甲、乙、丙三款口语APP中随机选取了1000条网络评价进行对比，统计如下：等级评价数量APP五星四星三星二星一星合计甲5622867948251000乙5173935221171000丙504210136116341000(说明：网上对于口语APP的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星)．小明选择(填“甲”、“乙”或“丙”)款英语口语APP，能获得良好口语辅助练习(即评价不低于四星)______的可能性最大．14.如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=9，BD=5，则D到AB的距离为______．15.如果等腰三角形的一个内角为50度，那么这个等腰三角形的底角是______度． 16.如图，在三角测平架中，AB=AC.在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这是为什么？答：______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.(1)(6+5)2016×(5-6)2017(2)(3-2)2+54-(-2)2．18.化简求值：(1+y2x2-y2)⋅x-yx，其中x-3y=0，且y≠0．19.(1)计算：1a2+2a+1÷1a2-1+a+3a+1．(2)解方程x-3x-2+1=3x-2．20.已知，如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，猜想AF与CD有何关系，并证明．21.已知a，b是实数，定义关于“△”的一种运算如下：a△b=(a-b)2-(a+b)2．(1)小明通过计算发现a△b=-4ab，请说明它成立的理由．(2)利用以上信息得x△1x=______，若x+1x=3，求(x-1x)4的值．(3)请判断等式(a△b)△c=a△(b△c)是否成立？并说明理由．22.如图，四边形ABCD中，AB=AD，点E为四边形ABCD边上一点，用尺规确定直线AE，使S△ADE=S△ABE(不写画法，保留作图痕迹)． 23.用尺规在BC上找一点P，使得PA+PB=BC.(不写作法，保留作图痕迹)24.某工程开准备招标，指挥部现接到甲乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙合作16天可以完成．求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天．25.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB=2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD=45°，OA=22．(1)求反比例函数的解析式；(2)求∠EOD的度数．26.先化简a2-1a÷(a-2a-1a)，再从-1，0，1，2中选择一个合适的数求值．27.【操作发现】(1)如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数； ②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF.请直接写出探究结果：①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．28.如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(-a,2)，B(a,b)，且a，b满足关系式：b=a-5+5-a+6．(1)求a，b的值；(2)如图1，AB与y轴交于点C，连接OA，OB，求三角形BOC的面积及C点坐标；(3)将线段AB向右平移8个单位得到A1B1，如图2，若点D(m,n)是线段A1B1上的动点，求m，n之间满足的数量关系． 参考答案及解析1.答案：D解析：因为81的算术平方根是9，又因为(±3)2等于9，9的平方根是±3，故选D2.答案：C解析：此题考查三角形的内角和，角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°.以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°，再根据∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和定理可得∠BDC的度数．解：在△ABC中，∵∠A=120°，∴∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°，又∵∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，∴∠DBC+∠DCB=23×60°=40°，∴∠BDC=180°-40°=140°，故选：C．  3.答案：B解析：解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4.答案：B解析：解析：解方程得，.又∵ 3、4、8不能构成三角形，故舍去，∴这个三角形的三边长分别是3、4、5，∴周长为12．5.答案：C解析：解：A、5a2b的被开方数中含有能开得尽方的因数a2，故本选项错误； B、xyx的被开方数中含有分母x，故本选项错误；C、15符合最简二次根式的定义，故本选项正确；D、27=3×32，所以它的被开方数中含有能开得尽方的因数32，故本选项错误．故选C．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．6.答案：D解析：解：A、是随机事件，选项错误；B、是随机事件，选项错误；C、是必然事件，选项错误；D、是不可能事件．故选D．不可能事件就是一定不会发生的事件，据此即可判断．本题考查了不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7.答案：D解析：解：由题意得，x-1≠0，解得x≠1．故选D．根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．8.答案：C解析： 此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，BC=AC∠BCD=ACECD=CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD，(①正确)∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，在△BCF与△ACG中，∠CBD=∠CAGBC=AC∠BCA=∠ACG，∴△BCF≌△ACG(ASA)，∴AG=BF，(②正确)；同理：△DFC≌△EGC(ASA)，∴CF=CG，∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG//BE，(③正确)．故选C．  9.答案：x≥3解析：解：由题意得：x-3≥0且x-2≠0，解得：x≥3． 故答案为：x≥3．根据二次根式和分式有意义的条件可得x-3≥0且x-2≠0，依此即可求解．此题主要考查了函数自变量的取值范围，当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．10.答案：yx解析：解：原式=xy2×y3x2=yx故答案为：yx根据分式的乘除法即可求出答案．本题考查分式的乘除法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．11.答案：24°解析：解：∵AB=AC，∠A=44°，∴∠C=∠ABC=12(180°-∠A)=68°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=44°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=68°-44°=24°，故答案为：24°．根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC=68°，根据线段垂直平分线性质得出BE=AE，推出∠ABE=∠A=44°，即可求出答案．本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形性质、线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．12.答案：15-3解析：解：∵一个正方形的面积为15，∴正方形的性质为15，则边长x的小数部分为：15-3，故答案为：15-3．直接得出正方形的边长，进而得出边长x的小数部分． 此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出正方形的边长是解题关键．13.答案：乙解析：解：选择甲款口语APP获得良好口语辅助练习(即评价不低于四星)的可能性为562+2861000=0.848，选择乙款口语APP获得良好口语辅助练习(即评价不低于四星)的可能性为517+3931000=0.91，选择丙款口语APP获得良好口语辅助练习(即评价不低于四星)的可能性为504+2101000=0.714，∵0.91>0.848>0.714，∴选择乙款英语口语APP，能获得良好口语辅助练习(即评价不低于四星)，乙的可能性最大．故答案为：乙．根据概率公式先求出甲、乙、丙三款口语APP获得良好口语辅助练习(即评价不低于四星)的可能性，再进行比较即可得出答案．本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．14.答案：4解析：解：如图：过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∠1=∠2，∴DC=DE，∵BC=9，BD=5，∴CD=4，∴DE=4，即D到AB的距离为4，故答案为：4．根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD，即可得出答案．本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键．15.答案：50或65 解析：解：(1)当这个内角是50°的角是顶角时，则它的另外两个角的度数是65°，65°；(2)当这个内角是50°的角是底角时，则它的另外两个角的度数是80°，50°；所以这个等腰三角形的底角的度数是40°或70°．故答案是：50或65．知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握等边对等角定理的应用，注意分类讨论思想的应用．16.答案：等腰三角形底边上的中线就是底边上的高解析：解：∵在三角测平架中，AB=AC，∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高，又AD自然下垂，∴BC处于水平位置．理由：等腰三角形底边上的中线就是底边上的高．已知AB=AC，D点为BC的中点，故AD为等腰三角形ABC的BC边上的高，当AD自然下垂时，BC处于水平位置．本题考查了等腰三角形底边上的“三线合一”的性质．17.答案：解：(1)(6+5)2016×(5-6)2017=[(5+6)(5-6)]2016×(5-6)=5-6；(2)(3-2)2+54-(-2)2=(3-26+2)+36-2=5-26+36-2=3+6．解析：(1)直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而求出答案；(2)直接利用完全平方公式以及化简二次根式整理得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．18.答案：解：原式=(x2-y2x2-y2+y2x2-y2)⋅x-yx=x2x2-y2⋅x-yx =x2(x+y)(x-y)⋅x-yx=xx+y．由x-3y=0，得x=3y，∴原式=3y3y+y=3y4y=34．解析：首先把括号内的分式进行通分，进行加法运算，然后把除法转化成乘法，进行乘法运算，然后把已知的式子变形为x=3y，代入化简以后的式子即可求解．本题考查了分式的混合运算，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．19.答案：解：(1)原式=1(a+1)2⋅(a+1)(a-1)+a+3a+1=a-1a+1+a+3a+1=2(a+1)a+1=2；(2)去分母得：x-3+x-2=3，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解．解析：(1)原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.答案：答：AF平分CD，证明：连接AC，AD，∵在△ABC和△AED中AB=AE∠B=∠EBC=DE∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC=AD，∵AF⊥CD， ∴AF平分CD．解析：试题分析：连接AC、AD.根据SAS证明△ABC≌△AED，得AC=AD.运用等腰三角形性质解答问题．21.答案：-4解析：解：(1)a△b=(a-b)2-(a+b)2=a2-2ab+b2-a2-2ab-b2=-4ab．故a△b=-4ab成立；(2)由题意得，x△1x=(x-1x)2-(x+1x)2=-4⋅x⋅1x=-4，∵x+1x=3，∴-4=(x-1x)2-32，∴(x-1x)2=5，∴(x-1x)4=52=25，故答案为：-4；(3)(a△b)△c=a△(b△c)成立，理由如下：∵由(1)可知(a△b)△c=(-4ab)△c=-4×(-4ab)×c=16abc，a△(b△c)=a△(-4bc)=-4a×(-4bc)=16abc，∴(a△b)△c=a△(b△c)．(1)利用所给公式可得算式(a-b)2-(a+b)2，然后化简计算即可；(2)根据(1)中发现可得x△1x=(x-1x)2-(x+1x)2=-4⋅x⋅1x=-4，然后把x+1x=3代入=(x-1x)2-(x+1x)2=-4进行计算即可；(3)利用(1)所给规律分别进行计算即可．此题主要考查了分式的化简，整式的混合运算，关键是正确理解题意，找出题目中所给的规律．22.答案：解：作∠BAD的角平分线AE，交边BC于点E，则直线AE即为所求．解析：因为AB=AD，且S△ADE=S△ABE，所以只要保证对应的高相等就可以，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以只要做∠BAD的角平分线AE即可． 本题考查了角平分线的性质、运用作图工具的能力，运用三角形：等底等高性质等基础知识解决问题的能力．23.答案：解：如图，点P即为所求作．解析：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，连接PA，点P即为所求作．本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.答案：解：设甲队单独完成这项工程需x天，由题意得：1x×6+(1x+12x)×16=1，解得：x=30，经检验：x=30是原分式方程的解，2x=60，答：甲队单独完成这项工程需30天，乙队单独完成这项工程需60天．解析：首先设甲队单独完成这项工程需x天，则乙队单独完成这项工程需2x天，根据题意可得等量关系：甲队6天的工作量+甲、乙合作16天的工作量=1，根据等量关系，列出方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．25.答案：解：(1)∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD=45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA=22，∴OD=AD=2，∴A(2,2)，∵顶点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，∴k=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=4x；(2)∵AB=2OA，点E恰为AB的中点，∴OA=AE， ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴CE=AE=BE，∴∠AOE=∠AEO，∠ECB=∠EBC，∵∠AEO=∠ECB+∠EBC=2∠EBC，∵BC//x轴，∴∠EOD=∠ECB，∴∠AOE=2∠EOD，∵∠AOD=45°，∴∠EOD=15°．解析：(1)根据题意求得A(2,2)，然后代入y=kx(x>0)，求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；(2)根据AB=2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA=AE=BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE=AE=BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE=2∠EOD，从而求得∠EOD=15°．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，证得∠AOE=2∠EOD，是解题的关键．26.答案：解：a2-1a÷(a-2a-1a)=(a+1)(a-1)a÷a2-2a+1a=(a+1)(a-1)a⋅a(a-1)2=a+1a-1，∵当a=0，1时，原分式无意义，∴a=-1或2，当a=2时，原式=2+12-1=3．解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从-1，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．27.答案：解：(1)①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，∵∠DCF=60°， ∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，AC=BC ∠ACF=∠BCD CF=CD ，∴△ACF≌△BCD(SAS)，∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF；理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°-30°=30°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，CD=CF ∠DCE=∠FCE CE=CE ，∴△DCE≌△FCE(SAS)，∴DE=EF；(2)①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，AC=BC ∠ACF=∠BCD CF=CD ，∴△ACF≌△BCD(SAS)，∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°-45°=45°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，CD=CF ∠DCE=∠FCE CE=CE ，∴△DCE≌△FCE(SAS)， ∴DE=EF，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．解析：本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．28.答案：解：(1)∵b=a-5+5-a+6，∴a-5≥05-a≥0，∴a=5，b=6．(2)设C(0,m)．由题意，A(-5,2)，B(5,6)，∴S△AOB=10×6-12×2×5-12×5×6-12×4×10=60-5-15-20=20，∴12⋅m⋅[5-(-5)]=20，∴m=4，∴C(0,4)，∴S△BOC=12×4×5=10．(3)如图2中，过点A1作A1E⊥x轴于E，过点B1作B1F⊥x轴于F，过点A1作A1G⊥B1F于G，连接DG． 由平移的性质可知，A1(3,2)，B1(13,6)，∵S△A1B1G=S△DGA1+S△DGB1，∴12×10×4=12×10×(n-2)+12×4×(13-m)，∴n=25m+45．解析：(1)利用二次根式的性质求出a，b的值即可．(2)设C(0,m).利用面积法，构建方程求出m，即可解决问题．(3)如图2中，过点A1作A1E⊥x轴于E，过点B1作B1F⊥x轴于F，过点A1作A1G⊥B1F于G，连接DG.根据S△A1B1G=S△DGA1+S△DGB1，构建关系式，可得结论．本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．