河南省焦作市2021-2022学年高二数学（理）上学期期中考试试题（附答案）

焦作市普通高中2021－2022学年(上)高二年级期中考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|y＝lg（x－1）}，B＝{x∈Z||x－1|≤1}，则A∩B＝（　　）A．{0，1，2}B．{0，1}C．{1，2}D．{2}2．在△ABC中，则△ABC是（　　）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形3．已知a，b，c∈R，若b＜0＜a，则（　　）A．0＜a2＜b2B．ab＞b2C．ac＞bc＞0D．ac2≥bc24．设等差数列的前n项和为已知a3＋的公差为（　　）A．2B．3C．4D．55．设变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最大值为（　　）A．1B．6C．10D．136．已知f（x）是R上的奇函数，且f（x＋2）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x﹣1，则f（）＝（　　）A．﹣1B．0C．1D．27．圆C：x2＋y2﹣10x﹣6y＋9＝0截x轴所得的线段长度为（　　）A．4B．6C．8D．108．某射箭运动员在一次训练中射出了10支箭，命中的环数分别为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，设这组数据的平均数为，标准差为s，则从这10支箭中任选一支，其命中的环数在区间内的概率为（　　） A．0．4B．0．5C．0．6D．0．79．若数列{an}满足a2＝9，an﹣1＋n＝an＋1（n≥2且n∈N×），则的最小值为（　　）A．B．C．D．10．在平面凸四边形ABCD中，∠BAD＝105°，∠ABC＝60°，∠CAD＝45°，∠CBD＝15°，AB＝3，则CD＝（　　）A．B．3C．3D．11．若关于x的不等式一在区间上有解，则实数a的取值范围为（　　）A．B．(－∞，－3]C．D．12．已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，若f（x）＝m在[0，π）上有两个实根a，b，且|a﹣b|＞，则实数m的取值范围是（　　）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，1）D．（﹣，）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（﹣2，1），＝（m，m），若⊥（＋），则实数m＝　　．14．函数的最大值为　　．15．在△ABC中，已知角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且3csinA＝4bsinC，则cosB＝　　．16．艾萨克×牛顿在17世纪提出了一种求方程近似解的方法，这种方法是通过迭代，依次得到方程的根的一系列近似值：这样得到的数列称为“牛顿数列”。例如，对于方程已知牛顿数列{x}满足且设若则　　．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）在等比数列{an}中，a7＝－8a4，且2a1，－a2，a3－6成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列}的前n项和Tn．．18．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，BD⊥AA1．（Ⅰ）证明：平面ABCD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）若四边形ACC1A1是正方形，AB＝BD＝2，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝3，cosA＝，＝．（1）求△ABC的外接圆的半径R；（2）求△ABC的面积．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2＋bx＋2a﹣1，a，b∈R．（Ⅰ）是否存在a，b，使不等式f（x）＜0的解集为（﹣3，﹣1）？说明理由．（Ⅱ）若b＝1﹣3a，求不等式f（x）≥0的解集．21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝7，S3＝5a1．（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{1＋}的前n项和为Tn，符号[x]表示不超过x的最大整数，当[T1]＋[T2]＋…＋[Tn]＝52时，求n的值．．22．（12分）如图所示，A，B，C是三座相邻的城市，为方便处理，将城市看作点，城市之间的路线都简化为直线，交通工具都做匀速运动，已知AB＝385千米，且cosA＝，cosB＝．现有甲、乙两人从A城市去B城市，甲乘普通列车直接从A到B，甲出发15分钟后，乙先乘高铁从A到C，在C城市停留一段时间后再换乘普通列车到B．假设普通列车的速度为120千米/时，高铁的速度为300千米/时．（Ⅰ）求A和C之间的距离；（Ⅱ）若要乙不晚于甲到达B城市，则乙在C城市停留的时间最长为多少分钟？（Ⅲ）乙出发多少分钟后，乙在高铁上与甲的距离最近？（该小问计算结果保留整数） 参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D；2．B；3．D；4．B；5．C；6．A；7．C；8．D；9．A；10．B；11．D；12．D；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．5；14．2；15．；16．0；三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（I）根据题意，设数列{an}的首项为a1，公比为q，则a7＝a1•q6，a4＝a1•q3，故由a7＝－8a4可得q＝－2，即得a2＝－2a1，a3＝－8a1，又因为2a1，－a2，a3－6成等差数列，所以－2a2＝2a1＋a3－6，即－4a1＝2a1－8a1－6，从而可得a1＝－3，所以数列{an}的通项公式为an＝−3•(−2)n−1；（II）根据题意，假设，则数列是以－3为首项，为公比的等比数列，则根据等比数列的前n项和公式可得，18．证明：（I）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD⊥AA1，且AA1∩AC＝A，AC⊂面ACC1A1，∴BD⊥面ACC1A1，又BD⊂平面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ACC1A1； （II）∵底面ABCD是菱形，AB＝BD＝2，故△ABD是等边三角形，则AC＝2ABsin60°＝2．又四边形ACC1A1是正方形，则AA1＝AC＝2，由（Ⅰ）知BD⊥AA1，又AC⊥AA1，AC、BD⊂面ABCD，BD与AC相交，∴AA1⊥平面ABCD，∴．19．解：(1)因为由正弦定理可得又sinB＞0，c＝3，所以可得2可得所以由正弦定理可得△ABC的外接圆的半径R(2)因为c＝3，所以可得a＝c＝3，由余弦定理，可得，可得b＝4，所以△ABC的面积20．解：（Ⅰ）假设不等式f（x）＜0的解集为（－3，－1），则ax2＋bx＋2a－1＝0的实数根是－3和－1，且a＞0，所以 ，解得a＝－1，b＝－4，这与a＞0矛盾，所以不存在a，b，使不等式f（x）＜0的解集为（－3，－1）．（Ⅱ）若b＝1－3a，则不等式f（x）≥0为ax2＋（1－3a）x＋2a－1≥0，a＝0时，不等式为x－1≥0，解得x≥1；a≠0时，不等式化为（x－1）[ax－（2a－1）]≥0，a＝1时，不等式为（x－1）2≥0，解得x∈R；a＞1时，2－＞1，解不等式得x≤1或x≥2－；0＜a＜1时，2－＜1，解不等式得x≤2－或x≥1；a＜0时，2－＞1，解不等式得1≤x≤2－；综上知，a＝0时，不等式的解集为[1，＋∞）；a＝1时，不等式的解集为R；a＞1时，不等式的解集为（－∞，1]∪[2－，＋∞）；0＜a＜1时，不等式的解集为（－∞，2－]∪[1，＋∞）；a＜0时，不等式的解集为[1，2－]．21．解：(I)由代入a3，S3，得，解得(2)由(1)可得，等差数列的前n项和为 所以1所以又因为当n≥3时，所以当n≥3时，又因为所以＋(n＋1)＝(根据题意，当时，解之可得n＝9或n＝－12(舍去)．故可得当时，n的值为9．22．解：（Ⅰ）在△ABC中，A，B，C∈（0，π），，则sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝，由正弦定理可得，则，即A和C之间的距离为255km；(II)甲乘普通列车直接从A到B，所需时间为小时＝192．5分钟，由正弦定理可得，即所以乙从A到C所需时间为分钟， 到B所需时间为分钟设需等待的时间为t，则解得t≤26．5分钟，故乙在C城市停留的时间最长为26．5分钟；（Ⅲ）设乙出发x分钟后，乙在AC上位置为D，甲在AB上位置为E，则AD＝2×15＋2x＝30＋2x，AE＝5x，又乙从A到C所需时间为51分钟，则0＜x＜51，因为DE2＝AD2＋AE2－2AD•AE•cosA＝(30＋2x)2＋25x2−2(30＋2x)×10×令f（x）＝，0＜x＜51，因为函数f（x）的对称轴为x＝所以当时，f（x）取得最小值，此时DE最小，故乙出发6分钟后，乙在高铁上与甲的距离最近．