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2020-2021学年北京市顺义区高三(上)期末数学试卷(一模)【附答案】

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2020-2021学年北京市顺义区高三(上)期末数学试卷(一模)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.设集合=ݔݔ=,ሺሻݔͳݔȁݔሺݔȁݔሺሺ,则=()A.ȁሺͳݔሺȁ.Dݔሺ.Cݔሺ.Bݔ2.在复平面内,复数对应的点的坐标是ȁ쇐ݔ,则=()A.B.C.D.3.在ݔȁ为项数常,中式开展的ݔݔA.B.쇐C.ͳD.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()ͳA.B.C.D.쇐쇐5.我国古代数学论著中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯二百五十四,请问底层几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了ͳ盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的ͳ倍,则塔的底层共有灯()A.쇐ͳ盏B.盏C.ͳ䁡盏D.盏6.设双曲线的方程为,若的一条渐近线的斜率为,则的离心率为()试卷第1页,总10页 A.B.C.D.7.已知,,且൐,则下列不等式中不恒成立的是()A.൐B.൐C.D.ͳ൐ͳ8.已知两条直线,和平面,且,则“”是“”的()A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件9.在䳌中,,则cos=()A.B.C.D.10.已知函数.若存在ݔݔȁ得使,ݔሺሺȁݔ=,则实数的取值范围是()A.B.C.ȁሺݔD.二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.)11.=________.12.设抛物线ͳ=ݔȁ为点焦的ݔ,则=________;若点在抛物线上,且=쇐,则点的坐标为________.13.已知函数ȁݔȁ间区在又数函偶是既ݔݔȁ明说能,ݔͳݔ=ݔݔ上单调递减的一组整数,,的值依次是________.14.已知单位向量,满足=,则与夹角的大小为________;ሺݔȁݔݔ的最小值为________.15.已知椭圆的左、右焦点分别为,ͳ,直线ݔ=ȁሺሻሻݔ与椭圆相交于点,䳌.给出下列三个命题:①存在唯一一个,使得ͳ为等腰直角三角形;②存在唯一一个,使得䳌为等腰直角三角形;试卷第2页,总10页 ③存在,使䳌的周长最大.其中,所有真命题的序号为________.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.)16.在三棱柱䳌ሺ䳌中,平面䳌,䳌,䳌,是的中点.ȁⅠݔ求证:䳌;ȁⅡݔ求二面角䳌ሺሺ的余弦值.17.函数ȁݔݔȁnis=ݔݔȁ൐,൐,的部分图象如图所示.ȁⅠݔ求函数ȁݔݔ的解析式;ȁⅡݔ求函数在区间上的最小值.18.为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度,厂家随机选取了ͳ名顾客进行回访,调查结果如表:运动鞋款式䳌回访顾客(人数)쇐쇐ͳ满意度意쇐意意意意注:.满意度是指:某款式运动鞋的回访顾客中,满意人数与总人数的比值;ͳ.对于每位回访顾客,只调研一种款式运动鞋的满意度.假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立,用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率.ȁⅠݔ从所有的回访顾客中随机抽取人,求此人是款式运动鞋的回访顾客且对该款试卷第3页,总10页 鞋满意的概率;ȁⅡݔ从、两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取人,设其中满意的人数为,求的分布列和数学期望;ȁⅢݔ用“=”和“=”分别表示对款运动鞋满意和不满意,用“=”和“=”分别表示对䳌款运动满意和不满意,试比较方差ȁݔ与ȁݔ的大小.(结论不要求证明)19.已知椭圆经过点ȁݔ和.ȁⅠݔ求椭圆的方程;ȁⅡݔ=直线直若ݔ与椭圆交于,䳌两点,且坐标原点到直线的距离为.求证:以䳌为直径的圆经过点.20.已知函数ݔnlሺͳݔݔ.ȁݔ线曲求,ͳ若ݔ的斜率等于쇐的切线方程;ȁͳݔ若ݔ在区间上恰有两个零点,求的取值范围.21.已知ሺ是无穷数列.给出两个性质:①对于ሺ中任意两项,ȁ൐ݔ,在ሺ中都存在一项,使得ͳሺ=;②对于ሺ中任意项ȁ쇐ݔ൐ȁ,项两在存都中ሺ在,ݔ,使得=ͳሺ.ȁⅠݔ若,判断数列ሺ是否满足性质①,说明理由;ȁⅡݔ…,ͳ=ȁ=若ݔ,判断数列ሺ是否同时满足性质①和性质②,说明理由;ȁⅢݔ若ሺ是递增数列,=,且同时满足性质①和性质②,证明:ሺ为等差数列.试卷第4页,总10页 参考答案与试题解析2020-2021学年北京市顺义区高三(上)期末数学试卷(一模)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.B2.D3.A4.A5.C6.A7.C8.C9.D10.B二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.ሺ12.,13.ሺ,,(答案不唯一)14.,15.①③三、解答题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.16.ȁⅠݔ证明:因为平面䳌,所以䳌.又䳌,,平面,平面,所以䳌平面.因为平面,所以䳌.(2)在三棱柱䳌ሺ䳌中,,试卷第5页,总10页 因为由平面䳌,所以平面䳌.所以䳌,,两两垂直.如图,以为原点,建立空间直角坐标系ሺݔ,所以ȁݔͳȁ,ݔͳȁ,ݔͳȁ䳌,ݔ.设平面䳌的法向量为=ȁݔݔ,因为䳌=ȁሺͳͳݔͳሺȁ=,ݔ,䳌=ሺͳݔͳ=所以.即.=ሺͳ=令,则ݔͳ,ͳ.所以平面䳌的一个法向量为=ȁͳͳݔ.因为䳌平面,所以平面的一个法向量为䳌=ȁͳݔ.䳌ͳ所以cosሻ䳌,൐==.䳌쇐ͳ所以二面角䳌ሺሺ的余弦值为.쇐17.(1)由题设图象知,周期,因为,所以,而由题意知=ͳ,所以ȁݔݔͳȁnisͳ=ݔݔ,因为函数ȁݔݔ的图象过点,所以.试卷第6页,总10页 所以.所以又因为,所以.故函数ȁݔݔ的解析式为.(2)==,==,因为,所以.所以当时,即ݔݔȁ,时=ݔ取到最小值,且最小值为ሺ쇐.18.(1)由题意知,是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为쇐意=ͳሺሺሺሺሺ故此顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是.--------(2)的取值为,,ͳ.---------------------------------设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的人对该款式运动鞋满意”,事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的人对该款式运动鞋满意”,且事件与¬相互独立.根据题意,ȁݔ估计为意쇐,ȁݔ估计为意.则----=意쇐意意意=意ሺሺሺሺሺሺሺሺሺȁ=ͳݔȁݔȁ=ݔȁ=ݔ=意쇐意=意䁡ሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺ试卷第7页,总10页 所以的分布列为:ͳ意ͳ䁡意意䁡-------的期望是:ȁݔ=意ͳ䁡意ͳ意䁡=意.----ȁⅢݔȁሻݔȁݔ.-------------------------------------------19.(1)因为椭圆经过点ȁݔ,所以=,又因为椭圆经过点,所以,解得=ͳ,所以椭圆的方程为,(2)证明:由,可得ȁͳݔ䁡ͳݔݔͳሺ=,由题意,൐,设ȁݔͳͳݔȁ䳌,ݔݔ,所以,,因为原点到直线的距离为,所以,即ͳ=ȁͳݔ,因为•=ݔͳݔȁݔݔȁͳݔݔ=ͳͳݔݔ===,所以䳌.因此以䳌为直径的圆过原点.20.解:ȁݔ数函知可ݔ定义域是.当ͳ时,ݔnlͳሺͳݔݔ,ͳͳݔݔሺݔͳݔሺ,ݔݔ试卷第8页,总10页 ͳ由ݔ,ͳݔ得解,쇐ሺݔͳݔͳሺ(舍去),ݔͳ又ͳሺͳlnͳ,所以切线方程为ሺሺͳlnͳ쇐ݔሺͳ,即쇐ݔሺሺͳሺͳlnͳ.ȁͳݔͳݔ,时当ݔሺ൐,ݔ函数单调递增,则不存在两个零点,舍去;ͳݔͳሺ当൐时,ݔͳݔሺݔݔͳݔሺݔ,ݔ易知ݔ得使要,点值极个一有只ݔ有两个零点,ͳͳͳ则ሻሻ,即ሻሻͳ,ͳͳ此时在上ݔ,ሻݔ单调递减;ͳ在上ݔ,൐ݔ单调递增;ͳ且ݔ在ݔ时取得极小值ሺlnሻ,ͳͳͳͳͳሺln,ሺ,ͳ解得ͳሻͳ.综上的范围是ȁͳͳ.21.(1)数列ሺ不满足性质①,理由如下:取数列ሺ中的=ͳ,ͳ=,所以ͳͳሺ=.由ͳ=,解得=log,显然不是整数.ͳ所以在数列ሺ中不存在,使得ͳͳሺ=,故数列ሺ不满足性质①;(2)数列ሺ同时满足性质①和性质②,理由如下:对于ሺ中任意两项,ȁ൐ݔ,记=ͳሺ,因此=ͳሺ,从而数列ሺ满足性质①;对于ሺ中任意项ȁ쇐ݔ൐ȁͳሺ=,ሺ=记,ݔ,显然有=ͳሺ,从而数列ሺ满足性质②;综上,数列ሺ同时满足性质①和性质②.ȁⅢݔ证明:ሺ是递增数列,=,则ͳ൐,根据性质①ͳͳሺ=ͳͳሺ,ͳȁͳͳݔሺͳ=쇐ͳሺ,ͳȁ쇐ͳݔሺͳͳ=ͳሺ…,由数学归纳法原理,可以证明ͳሺ=ͳͳͳ쇐ͳ意意意ሺሺ,另一个方面,我们用反证法证明ሺͳሺ=ͳͳͳ쇐ͳ意意意ሺ,假设ݔ൐ȁͳ=ݔ是ሺ中最小的不能写成ͳ的整倍数的项,根据性质②,存在两项,ȁ൐ݔ得使,ݔ=ͳሺ,我们记=ͳ,=ͳ,其中൐൐,可知:ͳ=ݔሺͳȁ=ͳሺͳͳ=ݔͳ,易知=ͳሺ=ȁሺݔ൐൐൐,根据ݔ൐ȁ=ݔ的最小性,可知道,,可以得到=ͳሺ,与不是ͳ试卷第9页,总10页 正整数矛盾.综上所述,ሺ是首项为,公差为ͳ的等差数列.试卷第10页,总10页

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2021-11-24 15:01:36 页数:10
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文章作者: 真水无香

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