2015-2016学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）【附答案】

2015-2016学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.复数储ڙʐ储ڙ榮ʐ是实数，则实数榮等于（）A.B.储C.D.储2.是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也必要条件储3.已知数列榮中，榮储储，榮ڙ储，若利用下面程序框图计算该数列的第储줒储ڙ榮项，则判断框内的条件是()A.储B.储줒C.储D.储储ڙcos4.若点为曲线（为参数）上一点，则点与坐标原点的最短距离为储ڙsin（）A.储B.ڙ储C.D.5.函数ʐsinڙcos在区间间上的零点之和是（）A.B.C.D.储줒6.若榮，，log，则榮，，的大小关系是ʐ储储储A.൏൏榮B.൏൏榮C.൏榮൏D.榮൏൏试卷第1页，总8页 7.若间ʐ为椭圆ڙ线直与圆椭，点焦右的ʐ榮储ڙ储交于，榮榮两点，线段的中点在直线上，则椭圆的离心率为（）储A.B.C.D.8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的储条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的줒个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的储条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的줒个面所成的角都相等．其中真命题的个数为（）A.储B.C.D.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)9.在储ʐ的展开式中，的系数等于________．（用数字作答）ڙ10.若，的满足ڙ，则的最小值为________．储11.设等差数列榮的前项和为，若，则榮ڙ榮ڙ榮________．12.在中，储间，点，是线段上的动点，则的最大值为________．13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．榮൏储ʐ14.设函数ʐ其中榮储．lnڙ榮ʐ储ʐ①当榮时，若ʐ，则________；②若ʐ在间ڙʐ上是单调递增函数，则榮的取值范围________．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)15.如图，在中，储，줒，줒，点在边上，且줒．（1）求cos；（2）求线段的长．试卷第2页，总8页 16.如图，在四棱锥中，，，是的中点，，储，．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值．17.随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的储位员工中，有人是志愿者．（1）在这储人中随机抽取人填写调查问卷，求这人中恰好有储人是志愿者的概率储；（2）已知该创业园区有储万多名员工，从中随机调查储人是志愿者的概率为，那么储在该创业园区随机调查人，求其中恰有储人是志愿者的概率；（3）该创业园区的团队有储位员工，其中有人是志愿者．若在团队随机调查人，则其中恰好有储人是志愿者的概率为．试根据（1）、（2）中的储和的值，写出储，，的大小关系（只写结果，不用说明理由）．储18.已知函数ʐ榮ڙ榮ʐ．（1）求函数ʐ的极值；储储（2）若存在实数储间ʐ，且，使得ʐʐ，求实数榮的取值范围．19.已知定点储间ʐ和直线储上的动点储间ʐ，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线ڙʐ交轴于点，交曲线于不同的两点，，点关于轴的对称点为点．点关于轴的对称点为，求证：，，三点共线．20.已知数列榮的各项均为正数，满足榮储储，榮ڙ储榮榮．间储间间,…,储ʐ（1）求证：榮ڙ储榮储储间间间间储ʐ；（2）若榮是等比数列，求数列榮的通项公式；储（3）设数列榮的前项和为，求证：ڙ储ʐ储．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2015-2016学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.D2.B3.B4.A5.C6.A7.B8.D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.晦10.11.储晦12.储줒13.14.储,储储间ڙʐ二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共储分）解：（1）∵储，줒，줒，ڙʐ줒ڙ줒ʐ储储∴根据余弦定理：cos．…줒줒（2）∵൏൏，储储ʐ∴sin，sin储cos．sin∴根据正弦定理得：，即：晦．…sinsinsin试卷第4页，总8页 16.证明：（1）取的中点，连接，，因为是中点，是中点，储所以间，储又因为间，所以四边形是平行四边形，所以，又面，面所以面…（2）连接，因为在中，，点是边在的中点，所以且储，在中，储，，所以在中，，，，所以又因为，面，面所以面…解：（3）取中点，以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：储间间ʐ，储间储间ʐ，储间间ʐ，间间ʐ，储间间ʐ，因为：，，所以面，面的法向量为间储间ʐ设面的法向量为间间ʐ储间间ʐ，间储间ʐ，ڙ，取储，得储间间ʐ，ڙ由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为，试卷第5页，总8页 cos储，二面角余弦值为．…储17.解：（1）储储，储所以这人中恰好有储人是志愿者的概率为．储储（2）储ʐ储ʐ储储줒，所以这人中恰好有储人是志愿者的概率为储储줒．储（3）由于团队中，每个人是志愿者的概率为储，储储ʐ储储줒，储．18.解：（1）̵ʐ榮ڙ，令̵ʐ得，．榮间间榮ڙʐ榮ʐ榮，ʐ̵+ʐ_+ʐ↗极↘极↗大小值值储∴函数ʐ的极大值为ʐ榮ʐڙʐ；榮榮榮榮极小值为ʐ．…储储储（2）若存在储间ʐ间ʐ，使得ʐʐ，储൏榮储则由（1）可知，需要储（如图储）或൏൏（如图）．榮榮榮储储ʐ൏ʐ试卷第6页，总8页 （图储），（图），储晦于是可得榮，ʐ间줒ʐ．…19.（1）解：由题意可知：，即点到直线储和点的距离相等．根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中为焦点．䁕设的轨迹方程为：䁕，储，䁕所以的轨迹方程为：．…RR证明：由条件可知，ʐ，则，ʐ．ڙ联立，消去得ڙʐڙ，ʐ储줒储ʐ．设储间储ʐ，间ʐ储൏ʐ，则间ʐ试卷第7页，总8页 储ڙ储储ڙ，储，．储ڙ储ڙʐڙ储储ڙʐ储储ʐ因为晦储储，储ʐ储储储储储所以，所以，，三点共线．…20.（1）证明：∵榮ڙ储榮榮间储间间,…,储ʐ，∴数列榮是递增数列，即储൏榮൏榮൏൏榮．又∵榮ڙ储榮榮储间储间间,…,储ʐ，∴榮ڙ储榮储储间间,…,储ʐ．（2）解：∵榮榮储榮储，∴榮榮储；∵榮是等比数列，∴数列榮的公比为．∵榮ڙ储榮榮间储间间,…,储ʐ，∴当时有榮ڙ储榮．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．∴榮储．（3）证明：∵储榮储，榮，榮，榮，…，榮储储，由上面个式子相加，得到：储ڙ储ڙ榮ڙڙ榮ڙ榮ڙ榮ڙڙڙڙ储ڙڙ储，ڙ储ʐ化简得൏榮储ڙڙ榮ڙ榮ڙ榮ʐ൏储ʐ，储∴ڙ储ʐ储．试卷第8页，总8页