2015-2016学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（理科）【附答案】

2015-2016学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.在复平面内，复数对应的点位于香䁕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在㈠香的展开式中，常数项为（）㈠A.䁢B.C.䁢D.3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A.䁢B.C.D.4.如图，圆的弦，相交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，若䁪，䁪，䁪，䁪，则䁪A.B.C.D.5.“൏൏䁢”是“香”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件试卷第1页，总8页 ㈠香䁢6.若曲线㈠香䁪经过不等式组㈠香䁢表示的平面区域，则的取值范围䁢是（）䁢A.，B.，C.䁡D.䁡䁢䁢7.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A.B.C.D.8.将编号为至的本书分给甲、乙、丙三人，每人本．甲说：我拥有编号为和的书；乙说：我拥有编号为和的书；丙说：我们三人各自拥有的书的编号之和相等．据此可判断丙必定拥有的书的编号是（）A.和B.和C.和D.和二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.抛物线䁪㈠的焦点坐标为________．10.向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若䁪㈠香，则㈠䁪________，䁪________．11.在直角坐标系㈠中，以为极点，㈠轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直㈠䁪cos线的极坐标方程为sin䁪，曲线的参数方程为（为参数），与䁪sin相交于，两点，则䁪________．12.已知函数㈠䁪sin㈠cos㈠，则㈠的最小正周期为________，㈠在，上的最小值为________．试卷第2页，总8页 13.如图，定义在䁡上的函数㈠的图象为折线．若方程㈠ሻ㈠ሻ䁪䁢有两个不等的实根，则实数ሻ的取值范围是________．14.已知非空集合满足：，总有且．若䁡，则䁪________；若㈠䁪香㈠㈠，则满足条件的共有________个．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)15.在中，角，，的对边分别为，，，且൏൏，䁪sin．（1）求的大小；（2）若䁪，䁪，求的值．16.已知数列䁪䁡䁡,…满足香䁪，且，香，成等差数列，设䁪log．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．17.某校学生会为了了解学生对于“趣味运动会”的满意程度，从高一、高二两个年级分别随机调查了䁢个学生，得到学生对“趣味运动会”所设项目的满意度评分如下：高一：高二：（1）根据两组数据完成两个年级满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个年级满意度评分的平均值及离散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；高一茎高二（2）根据学生满意度评分，将学生的满意度从低到高分为三个等级：满低䁢不意于分低度䁢到于评分䁢分分分满不满非意满意常度意满试卷第3页，总8页 等意级假设两个年级的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．随机调查高一、高二各一名学生，记事件：“高一、高二学生都非常满意”，事件：“高一的满意度等级高于高二的满意度等级”．分别求事件、事件的概率．18.如图，在直角梯形中，，䁪䁢，，䁪䁪，䁪．将沿折到的位置，使䁪䁢．，分别为，的中点．如图．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19.设函数㈠䁪㈠㈠香㈠香，．（1）当䁪时，求曲线䁪㈠在点（䁡）处的切线方程；（2）设㈠䁪㈠，证明：当时，函数㈠在䁢䁡香上仅有一个零点；（3）若对任意的㈠䁢䁡，恒有㈠䁢成立，求实数的取值范围．㈠20.已知椭圆香䁪的离心率为，是椭圆的右焦点．过点且斜率为䁢的直线与椭圆交于，两点，是坐标原点．（1）求的值；（2）若线段的垂直平分线在轴的截距为，求的值；（3）是否存在点㔠䁡䁢，使得为的平分线？若存在，求出㔠的值；若不存在，说明理由．试卷第4页，总8页 参考答案与试题解析2015-2016学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.D2.A3.B4.C5.A6.B7.B8.D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.，䁢10.,11.12.,13.䁢䁡14.,三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：（1）由䁪sin，得sin䁪sinsin，因为䁢൏൏，所以sin䁢，所以sin䁪，因为䁢൏൏，且൏൏，所以䁪䁢．（2）因为䁪䁢，䁪，䁪，所以，由余弦定理可得：䁪香cos，即：䁪香，整理可得：䁪䁢，所以解得：䁪或（舍去）．16.解：（1）由香䁪，可得为等比数列，其公比为，，香，成等差数列，可得香䁪香，即为香䁪香，解得䁪，试卷第5页，总8页 即有䁪䁪；䁪log䁪log䁪；（2）由䁪，可得的前项和为䁪，当时，൏䁢，即有䁪䁪；香䁢当，，可得䁪䁪香䁢䁪．，䁪，综上可得，䁪．香䁢，，17.解：（1）根据两组数据完成两个年级满意度评分的茎叶图如下：由茎叶图，得：高一满意度评分的平均值为：㈠䁪香香香香香香香香香䁢香香香香香香香香香香䁪，高二满意度评分的平均值为：㈠䁪香香香香香香香香香䁢香香香香香香香香香香䁪，∴高二年级满意度评分的平均值比高一年级满意度评分的平均值低；高一年级满意度评分较集中．（2）随机调查高一、高二各一名学生，记事件：“高一、高二学生都非常满意”，∴事件的概率䁪䁪，䁢䁢䁢事件：“高一的满意度等级高于高二的满意度等级”，䁢∴事件的概率䁪香香香香䁪．䁢䁢䁢䁢䁢䁢䁢䁢䁢䁢䁢18.证明：（1）由题意，以为原点，为㈠轴，为轴，过作平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则䁡䁢䁡䁢，䁢䁡䁡，䁢䁡䁢䁡䁢，䁡䁢䁡，䁢䁡䁡，䁪䁡䁡，䁪䁡䁢䁡，䁪䁢䁡䁡，设平面的法向量䁪㈠䁡䁡，试卷第6页，总8页 则䁪香䁪䁢，取㈠䁪，得䁪䁡䁡，∵䁪香䁪䁢，∴，又平面，∴平面．（2）䁢䁡䁡䁢，䁪䁡䁢䁡，䁪䁢䁡䁡䁢，∴䁪䁢，∴．解：（3）䁪䁡䁢䁡，䁪䁢䁡䁡，设平面的法向量䁪㈠䁡䁡，则䁪香䁪䁢，取㈠䁪，得䁪䁡䁡，又平面的法向量ሻ䁪䁢䁡䁢䁡，cos൏ሻ，䁪ሻ䁪，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．19.解：（1）当䁪时，㈠䁪㈠㈠香，㈠的导数为㈠䁪㈠㈠，可得䁪㈠在点（䁡）处的切线斜率为，切点䁡，即有切线的方程为䁪㈠，即为䁪㈠香；（2）证明：㈠䁪㈠䁪㈠㈠香香，∴㈠䁪㈠㈠香，当㈠൏䁢时，㈠൏；当㈠䁢时，㈠∵，∴函数㈠在䁢䁡上递减；在䁡香上递增，又∵䁢䁪䁢，䁪香䁢，当时，函数㈠在䁢䁡香上仅有一个零点；试卷第7页，总8页 （3）对任意的㈠䁢䁡，恒有㈠䁢成立，即为㈠㈠香㈠香䁢对任意的㈠䁢䁡恒成立，显然㈠䁪䁢时，䁢䁢成立；当䁢൏㈠时，㈠㈠㈠香香㈠㈠䁢成立，由香㈠㈠的导数为㈠，当䁢൏㈠时，㈠൏䁢，函数香㈠㈠递减，即有香㈠㈠൏䁢，㈠㈠㈠则在䁢൏㈠恒成立，香㈠㈠㈠㈠㈠㈠㈠㈠令㈠䁪的导数为㈠䁪，香㈠㈠香㈠㈠由㈠㈠㈠的导数为㈠㈠㈠㈠，由㈠㈠㈠的导数为㈠㈠䁪㈠㈠，由㈠㈠的导数为㈠，在㈠䁢时，㈠㈠递增，且大于䁢，则㈠㈠㈠递增，且大于䁢；即有㈠㈠㈠递增，大于䁢；则㈠在䁢䁡递增，且有㈠䁪，故的范围是．20.解：（1）由题意可得䁪䁪，䁪，即有䁪，䁪，即有䁪；㈠（2）椭圆的方程为香䁪，䁡䁢，直线的方程为䁪㈠，代入椭圆方程可得香㈠㈠香䁪䁢，㈠香㈠䁪香，㈠㈠䁪香，的中点为（䁡），香香即为䁡，香香由题意可得香䁪，解得䁪或；香（3）假设存在点㔠䁡䁢，使得为的平分线，即有直线和的斜率之和为䁢，即有香䁪䁢，由䁪㈠，䁪㈠，㈠㔠㈠㔠即有㈠㈠香㔠㈠香㈠香㔠䁪䁢，代入韦达定理，可得香㔠香㔠䁪䁢，香香化简可得㔠䁪．即有存在点䁡䁢，使得为的平分线．试卷第8页，总8页