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辽宁省沈阳市第一三四中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷 答案】
辽宁省沈阳市第一三四中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷 答案】
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2021-2022学年辽宁省沈阳134中八年级第一学期期中数学试卷一、选择题(下列各题备选答案中,只有一个答案是正确的。每小题2分,共20分)1.下列实数中,无理数是( )A.0B.C.﹣2D.2.下列运算正确的是( )A.=3B.=3C.=±3D.3﹣2=13.下列表述能确定物体具体位置的是( )A.敬业小区B.胜利南街右边C.北偏东30°D.东经118°,北纬28°4.下到方程组中,是二元一次方程组的是( )A.B.C.D.5.已知△ABC的三边长a,b,c满足(a﹣b)(c2﹣a2﹣b2)=0,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形6.如图所示,四边形ABCD是边长为2的正方形,AP=AC,则数轴上点P所表示的数是( )A.2B.﹣2C.2﹣1D.1﹣27.已知图形A在y轴的右侧,如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1,纵坐标不变得到图形B,则( )A.两个图形关于x轴对称 B.两个图形关于y轴对称C.两个图形重合D.两个图形不关于任何一条直线对称8.如图,等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上,且OA=2,则点B坐标为( )A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,)9.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图所示,观察图象可得( )A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<010.对于一次函数y=﹣2x+4,下列结论中正确的是( )A.函数值随自变量的增大而增大B.点(4﹣a,a)在该函数的图象上C.函数的图象与直线y=﹣x﹣2平行D.函数图象与坐标轴围成三角形的周长为6+2二、填空题(每小题3分,共18分)11.若x<﹣1<y且x,y是两个连续的整数,则x+y的值是 .12.若y=+4,则x2+y2的算术平方根是 .13.在一次函数y=﹣2x+5图象上有A(x1,y1)和A(x2,y2)两点,且x1>x2,则y1 y2(填“>,<或=”).14.小明从邮局买了面值0.5元和0.8元的邮票共9枚,花了6.3元,小明买了两种邮票各多少枚?若设买了面值0.5元的邮票x枚,0.8元的邮票y枚,则根据题意可列出方程组为 . 15.一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发,匀速相向而行,相遇后继续前行,已知轿车比货车每小时多行驶10千米,设行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系.根据图象提供的信息,下列说法正确的是 .①甲乙两地的距离为450千米②点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米③x=3时,两车相遇④货车的速度为90千米/小时16.已知长方形ABCD,AB=6,BC=10,M为线段AD上一点且AM=8,点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动,至点D停止,设运动时间为t秒,当△AMP为等腰三角形时,t的值为 .三、计算题(第17题6分,第18题8分,共14分)17.计算:(1);(2).18.解二元一次方程组:(1);(2). 四、解答题(19.20.21每题8分,22.23每题10分,24.25每题12分,共68分)19.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3),B(2,1),C(5,1).(1)画出△ABC关于y轴的对称的△A1B1C1.(2)△A1B1C的面积为 ;(3)y轴上存在一点P使得△ABP的周长最小,点P的坐标为 ,周长最小值为 .20.观察、发现:.(1)化简:= ;(2)直接写出:= ;(3)求值:.21.已知等腰三角形ABC的底边BC=10cm,D是腰AB上一点,且CD=8cm,BD=6cm.(1)求证:CD⊥AB;(2)求该三角形的腰的长度.22.学校需要采购一批演出服装,A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解:两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同,即每套100元.经洽谈协商:A公司给出的优惠条件是:服装按单价打七折,但校方需承担1200元的运费;B 公司的优惠条件是:服装按单价打八折,公司承担运费.如果设参加演出的学生有x人.(1)写出:①学校购买A公司服装所付的总费用y1(元)与参演学生人数x之间的函数关系式 ;②学校购买B公司服装所付的总费用y2(元)与参演学生人数x之间的函数关系式 .(2)若参演学生人数为150人,选择哪个公司比较合算,请说明理由.23.如图,把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA,OC分别落在x轴,y轴的正半轴上,连接AC,OA=4,=.(1)根据题意,写出点A的坐标 ,点C的坐标 ;(2)求AC所在直线的表达式;(3)将纸片OABC折叠,使点A与点C重合(折痕为EF),折叠后纸片重叠部分(即△CEF)的面积为 ;(4)请直接写出EF所在直线的函数表达式 .24.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF.(1)思路梳理:将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,如图1,使AB与AD重合,易证∠GAF=∠EAF=45°,可证△AFG≌△AFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为 ;(2)类比引申:如图2,在图1的条件下,若点E,F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB,DC的延长线上,∠EAF=45°,连接EF,猜想EF,BE,DF之间的数量关系为 ,并给出证明;(3)联想拓展:如图3,等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,把∠MAN绕点A旋转,在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E,若BD=2,EC=4,则BE的长为 . 25.【模型建立】(1)如图1,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于点D,过点B作BE⊥ED于点E,求证:△BEC≌△CDA.【模型应用】(2)如图2,已知直线l1:y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2,则直线l2的函数表达式为 .(3)如图3,将图1四边形放到平面直角坐标系中,点E与O重合,边ED放到x轴上,若OB=2,OC=1,在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4,请直接写出点M的坐标 .(4)如图4,平面直角坐标系内有一点B(3,﹣4),过点B作BA⊥x轴于点A,BC⊥y轴于点C,点P是线段AB上的动点,点D是直线y=﹣2x+1上的动点且在第四象限内.若△CPD是等腰直角三角形.请直接写出点D的坐标 . 参考答案一、选择题(下列各题备选答案中,只有一个答案是正确的。每小题2分,共20分)1.下列实数中,无理数是( )A.0B.C.﹣2D.【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.解:0,﹣2,是有理数,是无理数,故选:B.2.下列运算正确的是( )A.=3B.=3C.=±3D.3﹣2=1【分析】根据算术平方根的定义,二次根式的加减运算法则计算,即可进行判断.解:A、=3,所以A选项正确,符合题意;B、=3,所以B选项错误,不符合题意;C、==3,所以C选项错误,不符合题意;D、3﹣2=,所以D选项错误,不符合题意.故选:A.3.下列表述能确定物体具体位置的是( )A.敬业小区B.胜利南街右边C.北偏东30°D.东经118°,北纬28°【分析】根据确定位置的有序数对有两个数解答.解:在平面直角坐标系中,要用两个数据才能表示一个点的位置,纵观各选项,只有东经118°,北纬28°能确定物体的位置.故选:D.4.下到方程组中,是二元一次方程组的是( )A.B. C.D.【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可.解:A.此方程组符合二元一次方程组的定义,此选项符合题意;B.此方程组含有3个未知数,此选项不符合题意;C.xy=4不是二元一次方程,此选项不符合题意;D.x2﹣1=0不是一次方程,此选项不符合题意;故选:A.5.已知△ABC的三边长a,b,c满足(a﹣b)(c2﹣a2﹣b2)=0,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【分析】根据(a﹣b)(c2﹣a2﹣b2)=0得a﹣b=0,或c2﹣a2﹣b2=0,求出a、b、c之间的数量关系进行判断.解:∵(a﹣b)(c2﹣a2﹣b2)=0,∴a﹣b=0或c2﹣a2﹣b2=0,∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形,故选:A.6.如图所示,四边形ABCD是边长为2的正方形,AP=AC,则数轴上点P所表示的数是( )A.2B.﹣2C.2﹣1D.1﹣2【分析】由正方形边长,可求对角线AC=2,则P点表示的数是1﹣2.解:∵ABCD是边长为2的正方形,∴AC=2, ∵AP=AC,∴AP=2,∴P点表示的数是1﹣2,故选:D.7.已知图形A在y轴的右侧,如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1,纵坐标不变得到图形B,则( )A.两个图形关于x轴对称B.两个图形关于y轴对称C.两个图形重合D.两个图形不关于任何一条直线对称【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变可选出答案.解:∵将图形A上的所有点的横坐标乘以﹣1,纵坐标不变,∴横坐标变为相反数,纵坐标不变,∴得到的图形B与A关于y轴对称,故选:A.8.如图,等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上,且OA=2,则点B坐标为( )A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,)【分析】过点B作BC⊥OA,利用等腰直角三角形的性质解答即可.解:过点B作BC⊥OA,∵等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上,且OA=2,∴OC=1,∠BOC=45°, ∴BC=OC=1,∴B的坐标为(1,1),故选:A.9.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图所示,观察图象可得( )A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可.解:∵一次函数y=kx+b的图象经过一、三象限,∴k>0,又该直线与y轴交于正半轴,∴b>0.综上所述,k>0,b>0.故选:A.10.对于一次函数y=﹣2x+4,下列结论中正确的是( )A.函数值随自变量的增大而增大B.点(4﹣a,a)在该函数的图象上C.函数的图象与直线y=﹣x﹣2平行D.函数图象与坐标轴围成三角形的周长为6+2【分析】根据一次函数的k的符号判断y随x增大而减小,把点坐标代入解析式判断是否点坐图象上,根据k是否相等判断两直线是否平行,由函数解析式求出直线与坐标轴交点坐标,从而求解图象与坐标轴围成图象的周长.解:∵y=﹣2x+4中k=﹣2,图象下降,y随x增大而减小,故选项A错误,不符合题意.把x=4﹣a代入y=﹣2x+4得y=﹣2(4﹣a)+4=﹣4+2a,∴(4﹣a,a)不在直线上, 故选项B错误,不符合题意.∵y=﹣x﹣2中k=﹣1,故选项C错误,不符合题意.设直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,把x=0代入y=﹣2x+4得y=4,∴点B坐标为(0,4),把y=0代入y=﹣2x+4得0=﹣2x+4,解得x=2,∴点A坐标为(2,0),在Rt△AOB中,由勾股定理得AB==2,∴函数图象与坐标轴围成三角形的周长为AO+BO+AB=6+2,故D选项正确,符合题意.故选:D.二、填空题(每小题3分,共18分)11.若x<﹣1<y且x,y是两个连续的整数,则x+y的值是 3 .【分析】估算得出的范围,进而求出x与y的值,即可求出所求.解:∵4<6<9,∴2<<3,即1<﹣1<2,∴x=1,y=2,则x+y=1+2=3, 故答案为:312.若y=+4,则x2+y2的算术平方根是 5 .【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x,再求出y,然后代入代数式求值,再根据算术平方根的定义解答.解:根据题意得,3﹣x≥0且x﹣3≥0,解得x≤3且x≥3,所以,x=3,y=4,所以,x2+y2=32+42=25,∵25的算术平方根是5,∴x2+y2的算术平方根是5.故答案为:5.13.在一次函数y=﹣2x+5图象上有A(x1,y1)和A(x2,y2)两点,且x1>x2,则y1 < y2(填“>,<或=”).【分析】先根据一次函数的性质判断出函数的增减性,进而可得出结论.解:∵一次函数y=﹣2x+5中,k=﹣2<0,∴y随x的增大而减小.∵x1>x2,∴y1<y2.故答案为:<.14.小明从邮局买了面值0.5元和0.8元的邮票共9枚,花了6.3元,小明买了两种邮票各多少枚?若设买了面值0.5元的邮票x枚,0.8元的邮票y枚,则根据题意可列出方程组为 .【分析】由题意可得等量关系①0.5元的邮票枚数+面值0.8元的邮票枚数=9枚;②0.5元的邮票价格+面值0.8元的邮票总价格=6.3元,由等量关系列出方程组即可.解:设买了面值0.5元的邮票x枚,0.8元的邮票y枚,由题意得.故答案为:. 15.一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发,匀速相向而行,相遇后继续前行,已知轿车比货车每小时多行驶10千米,设行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系.根据图象提供的信息,下列说法正确的是 ①②③ .①甲乙两地的距离为450千米②点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米③x=3时,两车相遇④货车的速度为90千米/小时【分析】根据函数图象中的数据和题意,可以直接判断①②③,再根据轿车比货车每小时多行驶10千米和两车3小时相遇,即可计算出货车的速度,从而可以判断④.解:由图象可得,甲乙两地的距离为450千米,故①正确;点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米,故②正确;x=3时,两车相遇,故③正确;货车的速度为:(450÷3﹣10)÷2=70(千米/小时),故④错误;故答案为:①②③.16.已知长方形ABCD,AB=6,BC=10,M为线段AD上一点且AM=8,点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动,至点D停止,设运动时间为t秒,当△AMP为等腰三角形时,t的值为 4﹣或2或 .【分析】分三种情况:①当PA=PM时,点P在AM的垂直平分线上,取AM的中点 N,过点N作NP⊥AM交BC于P,则四边形ABPN是矩形,得BP=AN=AM=4,即可求解;②当AM=AP=8时,由勾股定理得BP=2,即可求解;③当MA=MP=8时,过点M作MH⊥BC于H,则四边形ABHM为矩形,得MH=AB=6,BH=AM=8,∠MHP=90°,由勾股定理得HP=2,则BP=BH﹣HP=8﹣2,即可求解.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=6,BC=AD=10,∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,当△AMP为等腰三角形时,分三种情况:①当PA=PM时,点P在AM的垂直平分线上,取AM的中点N,过点N作NP⊥AM交BC于P,如图1所示:则四边形ABPN是矩形,∴BP=AN=AM=4,∴t=4÷2=2;②当AM=AP=8时,如图2所示:在Rt△ABP中,由勾股定理得:BP===2,∴t=2÷2=; ③当MA=MP=8时,过点M作MH⊥BC于H,如图3所示:则四边形ABHM为矩形,∴MH=AB=6,BH=AM=8,∠MHP=90°,在Rt△MHP中,由勾股定理得:HP===2,∴BP=BH﹣HP=8﹣2,∴t=(8﹣2)÷2=4﹣;综上所述,t的值为:4﹣或2或,故答案为:4﹣或2或.三、计算题(第17题6分,第18题8分,共14分)17.计算:(1);(2).【分析】(1)分别化简、、,再合并同类二次根式即可;(2)化简、、以及|﹣2|,再合并同类项即可.解:(1)原式=2﹣4+3=;(2)原式=9+(﹣3)+2﹣(﹣2)=9﹣3+2﹣+2=10﹣.18.解二元一次方程组:(1);(2).【分析】(1)根据代入消元法解决此题. (2)将2x+3y=5记作①式,x﹣3y=1记作②式.由②变形得x=3y+1…③,再运用代入消元法解决此题.解:(1)将x=y﹣9代入x+3y=7,得y﹣9+3y=7.∴y+3y=7+9.∴4y=16.∴y=4.∴x=y﹣9=4﹣9=﹣5.∴这个方程组的解为.(2)将2x+3y=5记作①式,x﹣3y=1记作②式.由②,得x=3y+1…③.将③代入①,得2(3y+1)+3y=5.∴6y+2+3y=5.∴6y+3y=5﹣2.∴9y=3.∴y=.∴x=3×+1=2.∴这个方程组的解为.四、解答题(19.20.21每题8分,22.23每题10分,24.25每题12分,共68分)19.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3),B(2,1),C(5,1).(1)画出△ABC关于y轴的对称的△A1B1C1.(2)△A1B1C的面积为 7 ;(3)y轴上存在一点P使得△ABP的周长最小,点P的坐标为 (0,) ,周长最小值为 + . 【分析】(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点,再首尾顺次连接即可;(2)根据三角形的面积公式求解即可;(3)利用待定系数法求出AB1所在直线解析式,从而得出点P坐标,再利用勾股定理可得三角形ABP周长最小值.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(2)如图所示,连接A1C,△A1B1C的面积为×7×2=7,故答案为:7;(3)如图所示,连接AB1,与y轴的交点即为所求点P,设AB1所在直线解析式为y=kx+b,则,解得, ∴y=x+,当x=0时,y=,∴P(0,);∵AB1==,AB==,∴周长最小值为+,故答案为:(0,),+.20.观察、发现:.(1)化简:= ﹣ ;(2)直接写出:= ﹣ ;(3)求值:.【分析】(1)直接利用二次根式的性质得出有理化因式,进而化简得出答案;(2)直接利用(1)中规律得出答案;(3)直接利用运算规律化简,进而得出答案.解:(1)==﹣;故答案为:﹣;(2)原式=﹣;故答案为:﹣;(3)原式=﹣1+﹣+﹣+.....+﹣=﹣1+=﹣1+10=9.21.已知等腰三角形ABC的底边BC=10cm,D是腰AB上一点,且CD=8cm,BD=6cm.(1)求证:CD⊥AB; (2)求该三角形的腰的长度.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°,求出∠ADC=90°即可;(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得出a2=(a﹣6)2+82,求出a即可.【解答】证明:(1)设AB=AC=acm,∵BC=10cm,CD=8cm,BD=6cm,∴BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,即∠ADC=90°,∴CD⊥AB;(2)∵∠ADC=90°,在Rt△ADC中,由勾股定理得:AC2=AD2+CD2,即a2=(a﹣6)2+82,解得:a=,即AB=cm.22.学校需要采购一批演出服装,A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解:两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同,即每套100元.经洽谈协商:A公司给出的优惠条件是:服装按单价打七折,但校方需承担1200元的运费;B公司的优惠条件是:服装按单价打八折,公司承担运费.如果设参加演出的学生有x人.(1)写出:①学校购买A公司服装所付的总费用y1(元)与参演学生人数x之间的函数关系式 y1=70x+1200 ;②学校购买B公司服装所付的总费用y2(元)与参演学生人数x之间的函数关系式 y2=80x .(2)若参演学生人数为150人,选择哪个公司比较合算,请说明理由.【分析】(1)①根据A公司给出的优惠条件是:服装按单价打七折,但校方需承担1200元的运费,可以写出学校购买A公司服装所付的总费用y1(元)与参演学生人数x 之间的函数关系式;②根据B公司的优惠条件是:服装按单价打八折,公司承担运费,可以写出学校购买B公司服装所付的总费用y2(元)与参演学生人数x之间的函数关系式;(2)先判断哪家公司比较合算,然后将x=150代入(1)中的两个函数解析式,求出相应的函数值,再比较大小即可说明理由.解:(1)①由题意可得,学校购买A公司服装所付的总费用y1(元)与参演学生人数x之间的函数关系式是y1=100x×0.7+1200=70x+1200,故答案为:y1=70x+1200;②由题意可得,学校购买B公司服装所付的总费用y2(元)与参演学生人数x之间的函数关系式是y2=100x×0.8=80x,故答案为:y2=80x;(2)若参演学生人数为150人,选择A公司比较合算,理由:当x=150时,y1=70×150+1200=11700,y2=80×150=12000,∵11700<12000,∴若参演学生人数为150人,选择A公司比较合算.23.如图,把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA,OC分别落在x轴,y轴的正半轴上,连接AC,OA=4,=.(1)根据题意,写出点A的坐标 (4,0) ,点C的坐标 (0,2) ;(2)求AC所在直线的表达式;(3)将纸片OABC折叠,使点A与点C重合(折痕为EF),折叠后纸片重叠部分(即△CEF)的面积为 ;(4)请直接写出EF所在直线的函数表达式 y=2x﹣3 . 【分析】(1)由OA=4,=.得OC=2,即可得出点A、C的坐标;(2)利用待定系数法求函数解析式;(3)由折叠的性质和平行线的性质得CE=CF,设CE=AE=x,则OE=4﹣x,在Rt△OCE中,由勾股定理列方程可得CE的长,从而求出面积;(4)设AC与EF的交点为G,可知点G为AC的中点,再用待定系数法求函数解析式即可.解:(1)∵OA=4,=.∴OC=2,∴A(4,0),C(0,2);故答案为:(4,0),(0,2);(2)设直线AC的函数解析式为:y=kx+b,∴,∴,∴直线AC的函数解析式为:y=﹣;(3)由折叠知:AE=CE,∠AEF=∠CEF,∵BC∥OA,∴∠AEF=∠CFE,∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,设CE=AE=x,则OE=4﹣x,在Rt△OCE中,由勾股定理得:(4﹣x)2+22=x2,解得x=, ∴CE=,∴S△CEF=×CF×OC=×=,故答案为:;(4)设AC与EF的交点为G,∵AE=CE=,∴OE=,∴E(),由折叠知,EF垂直平分AC,∴点G为AC的中点,∴点G(2,1),设直线EF的函数解析式为:y=mx+n,∴,∴,∴直线EF的函数解析式为y=2x﹣3,故答案为:y=2x﹣3.24.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF.(1)思路梳理:将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,如图1,使AB与AD重合,易证∠GAF=∠EAF=45°,可证△AFG≌△AFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为 BE+FD=EF ;(2)类比引申:如图2,在图1的条件下,若点E,F由原来的位置分别变到正方形ABCD 的边CB,DC的延长线上,∠EAF=45°,连接EF,猜想EF,BE,DF之间的数量关系为 DF=EF+BE ,并给出证明;(3)联想拓展:如图3,等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,把∠MAN绕点A旋转,在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E,若BD=2,EC=4,则BE的长为 2+2 .【分析】(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,证出△AFG≌△AFE,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案;(2)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,证出△AFE≌△AFG,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案;(3)把△ACE旋转到ABF的位置,连接DF,证明△AFE≌△AFG(SAS),则EF=FG,∠C=∠ABF=45°,△BDF是直角三角形,根据勾股定理即可作出判断.解:(1)如图1所示:∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,∵∠ADC=∠B=90°,∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,∴∠DAG=∠BAE,AE=AG,∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF,即∠EAF=∠FAG.在△EAF和△GAF中, ,∴△AFG≌△AFE(SAS).∴EF=FG.∴EF=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF.故答案为:BE+FD=EF;(2)DF=EF+BE.证明:如图2所示.∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,∵∠ADC=∠ABE=90°,∴点C、D、G在一条直线上.∴EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD.又∵∠BAG+∠GAD=90°,∴∠EAG=∠BAD=90°.∵∠EAF=45°,∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°.∴∠EAF=∠GAF.在△EAF和△GAF中,,∴△EAF≌△GAF(SAS).∴EF=FG. ∵FD=FG+DG,∴DF=EF+BE,故答案为:DF=EF+BE;(3)把△ACE旋转到ABF的位置,连接DF,则∠FAB=∠CAE.∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,∴∠BAD+∠CAE=45°,又∵∠FAB=∠CAE,∴∠FAD=∠DAE=45°,则在△ADF和△ADE中,,∴△ADF≌△ADE(SAS).∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°.∴∠BDF=90°.∴△BDF是直角三角形.∴BD2+BF2=DF2.∴BD2+CE2=DE2.∴DE==2.∴BE=BD+DE=2+2.故答案为:2+2.25.【模型建立】(1)如图1,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于点D,过点B作BE⊥ED于点E,求证:△BEC≌△CDA. 【模型应用】(2)如图2,已知直线l1:y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2,则直线l2的函数表达式为 y=5x﹣10 .(3)如图3,将图1四边形放到平面直角坐标系中,点E与O重合,边ED放到x轴上,若OB=2,OC=1,在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4,请直接写出点M的坐标 (2,0)或(﹣2,0) .(4)如图4,平面直角坐标系内有一点B(3,﹣4),过点B作BA⊥x轴于点A,BC⊥y轴于点C,点P是线段AB上的动点,点D是直线y=﹣2x+1上的动点且在第四象限内.若△CPD是等腰直角三角形.请直接写出点D的坐标 ()或(4,﹣7)或() .【分析】(1)根据同角的余角相等可证∠BCE=∠CAD,从而利用AAS可证△BEC≌△CDA;(2)过点B作BF⊥l1,交l2于F,过F作FH⊥y轴于H,则△ABF是等腰直角三角形,由(1)同理可得△OAB≌△HBF,则F(﹣3,5),利用待定系数法即可求得函数解析式; (3)由(1)得△BOC≌△CDA,得A(3,1),可求出OM=2,即可得出点M的坐标;(4)分点P为直角顶点或点C为直角顶点时或点D为直角顶点三种情况,分别画出图形,利用(1)中K型全等可得点D的坐标,即可解决问题.【解答】证明:(1)∵AD⊥ED,BE⊥ED,∴∠BEC=∠ADC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°,∴∠BCE=∠CAD,在△BEC和△CDA中,,∴△BEC≌△CDA(AAS);(2)过点B作BF⊥l1,交l2于F,过F作FH⊥y轴于H,则△ABF是等腰直角三角形,由(1)同理可证△OAB≌△HBF(AAS),∴OA=BH,OB=FH,∵直线l1:y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴A(﹣2,0),B(0,3),∴OA=2,OB=3,∴OH=5,FH=3,∴F(﹣3,5), 设l2的函数解析式为y=kx+b,将点A,F的坐标代入得k=﹣5,b=﹣10,∴直线l2的函数解析式为y=﹣5x﹣10,故答案为:y=﹣5x﹣10;(3)由(1)得△BOC≌△CDA,∴OC=AD=1,CD=OB=2,∴A(3,1),∵S△AOB==3,∴S△OAM=1,∴OM=2,∴M(2,0)或(﹣2,0),故答案为:(2,0)或(﹣2,0);(4)①若点P为直角顶点时,如图, 设点P的坐标为(3,m),则PB的长为4+m,∵∠CPD=90°,CP=PD,∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°,∴∠CPM+∠PDH=90°,又∵∠CPM+∠DPM=90°,∴∠PCM=∠PDH,在△MCP与△HPD中,,∴△△MCP≌△HPD(AAS),∴CM=PH,PM=PD,∴点D的坐标为(7+m,﹣3+m),又∵点D在直线y=﹣2x+1上,∴﹣2(7+m)+1=﹣3+m,解得:m=﹣,即点D的坐标为();②若点C为直角顶点时,如图, 设点P的坐标为(3,n),则PB的长为4+n,CA=CD,同理可证明△PCM≌△CDH(AAS),∴PM=CH,MC=HD,∴点D的坐标为(4+n,﹣7),又∵点D在直线y=﹣2x+1上,∴﹣2(4+n)+1=﹣7,解得:n=0,∴点P与点A重合,点M与点O重合,即点D的坐标为(4,﹣7);③若点D为直角顶点时,如图,设点P的坐标为(3,k),则PB的长为(4+k),CD=PD,同理可证明△CDM≌△PDQ(AAS), ∴MD=PQ,MC=DQ,∴D(),又∵点D在直线y=﹣2x+1上,∴﹣2×=﹣,解得:k=﹣,∴点P与点A重合,点M与点O重合,即点D的坐标为(),综上所述,点D的坐标为()或(4,﹣7)或(),故答案为:()或(4,﹣7)或().
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