广东省湛江一中、深圳实验学校2022届高三数学10月联考试卷（附答案）

2022届高三年级两校联考数学学科试题一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，则A．B．C．D．2．若，，则下列不等式成立的是A．B．C．D．3．命题：若，则；命题：函数有且仅有一个零点，则下列为真命题的是A．B．C．D．4．函数对任意都有成立，且函数的图像关于点对称，，则A．1B．2　C．3D．45.已知函数，,若都有，则实数的取值范围为A．B．C．D．6．设，，，则A．B．C．D．7．已知若，则下列结论一定成立的是A．B．C．D．8．已知函数若不等式在上有解，则实数a的取值范围是A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是 A．“且”是“”的充要条件B．方程有一正一负根的充要条件是C．命题“若，则.”的逆否命题为真命题D．命题：“，使得”，则非：“，”10．在△中，角的对边分别为，则下列的结论中正确的是A．若，则△一定是等腰三角形B．若，则C．若△是锐角三角形，则D．已知△不是直角三角形，则11．下列说法正确的是A．若，则函数的最小值为B．若都是正数,且,则的最小值是3C．若，则的最小值是4D．已知，则的最大值为12．若函数有两个极值点，（），则A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线过点的切线方程为________________.14．已知，若，则_________.15．一医用放射性物质原来质量为，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用时间是10年.已知到今年为止，剩余为原来的，到今年为止，该放射物质已经衰减了________年.16．设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知 （1）化简；（2）若求的值.18．（12分）函数的值域为集合，函数的定义域为集合，记.（1）若，试判断是的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19．（12分）已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）解不等式；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数(,为常数)在内有两个极值点．（1）求参数的取值范围；（2）求证：．21．（12分） 已知函数．（1）当时，求的单调性及零点的个数；（2）当时，求的零点的个数.22．（12分）已知函数．（1）探究函数的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．2022届高三年级两校联考数学学科答案一、单项选择题12345678BDADBBDC二、多项选择题9101112BCDBCDBCDABC三、填空题13.；14.；15.5；16.四、解答题17．（10分）已知（1）化简；（2）若求的值. 解：（1）….3分…………………………5分（2）由，可得，………………………………10分18．（12分）函数的值域为集合，函数的定义域为集合，记.（1）若，试判断是的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：令，因为，所以……2分且……………………………………………………………4分函数的值域也就是函数的值域，………6分根据二次函数的图像特征可知，函数在上单调递增于是可求得……………………………………………………7分函数有意义需要，即 ，所以…………9分⑴若，则，是的既不充分也不必要条件………………10分⑵若是的充分不必要条件，则，即………11分解得：………………………………………………………………12分19．（12分）已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）解不等式；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.解：（1）函数满足，图像关于直线对称，………….2分令，则，设，则，因为，所以，即，所以函数在上单调递增，因为在定义域内为增函数，所以在上单调递增，……………………………………………….4分可化为，即，解得，；………………………………………………………6分（2）若关于的方程在上有解，即在上有解，显然也就是在上有解…………………………………………………..8分若在上有两根，则，此不等式组无解；..9分 若一根大于而另一根小于1，则，解得，…….10分若的一个根等于1，则，此时方程为，即，得或不合题意，………………………………………………………………..11分综上，若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是，.……………………………………………………………………………………………………………………………………..12分20.已知函数(,为常数)在内有两个极值点．（1）求参数的取值范围；（2）求证：．解：(1)由，得．……………1分记，由题意知，在上存在两个零点．因为，则当时，，在上递增，至多只有一个零点，不合题意；……………………………………………………………………………………………………………………….2分当时，令，得．（i）若，即时，在上递减，在上递增，则．当，且，，此时，从而在和上各有一个零点，所以，在上存在两个零点．………………………………………4分 （ii）若，即时，在上递减，至多只有一个零点，不合题意．…………………………………………………………………………………………5分（iii）若，且，即时，此时在上只有一个零点，而在上没有零点，不合题意．综上所述，．…………………………6分（2）若函数在上存在两个零点，即，则，两式相减可得……7分要证，即证…………………………………….8分即令，即……………………………………….9分设，则………10分所以在区间上单调递增，则……………………….11分即，那么原不等式成立………………………………….12分21．（12分）已知函数．（1）当时，求的单调性及零点的个数；（2）当时，求的零点的个数. 解：（1），，………..1分当时，，所以单调递减.……………………………………………2分又因为，，………………………………..3分所以，有，所以存在一个零点……….5分（2）当时，，，所以单调递增，………………………………………….6分又，，……………………………………..7分所以，有，且有时，，单调递减；…..8分时，，单调递增，又因为，，所以，有.又当时，，，所以.……..9分所以当时，，单调递减；时，，单调递增，又，，所以存在，有，………………………………..10分 当时，，，所以有，当，有.…….11分所以，当时，函数有且仅有一个零点………………………..12分22．（12分）已知函数．（1）探究函数的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1），得，…………1分①若，则，在上单调递增；………………………2分②若，则，此时，当时，；时，；所以在区间上单调递增，在上单调递减．…………………………….4分 （2）法一：不等式在上恒成立，相当于在上恒成立．令，则……………….5分①当时，因在上恒有，因此是的极大值点．所以此时有；……………………………6分②当时，，此时，可知分别是函数的极大值点和极小值点，因此，有；……………………………………8分③当时，，知在上单调递增，所以,即，所以；……………………………………………………9分④当时，同理可知分别是函数的极大值点和极小值点，因此，有；…………………………………………………………….11分综上可知，实数的取值范围是．…………………………………..12分（2）法二：不等式变为：………………………………5分①若，则；………………………………………………………………6分①若，则，令，则，…………………..7分 令，则，，当时，单调递增；当时，单调递减；所以当时，取得极大值，即所以，即，……………………………………………………8分所以………9分可知是的唯一极大值点，因而也是最大值点．所以；..10分①若，，此时，即在上单调递减，所以；………………………………………………………..11分综上可知，实数的取值范围是．………………………………..12分