陕西省汉中市十校2020-2021学年高二上学期期中考试校际联考数学试卷 Word版含解析
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2020~2021学年度第一学期期中校际联考试题高二数学注意事项:1.本试题共4页,满分150分,时间120分钟;2.答卷前,务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚;3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂,第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,涂写要工整、清晰;4.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,2,,,则()A.B.C.,D.,2,【答案】B【解析】【分析】先求出集合,再利用交集运算求解即可.【详解】集合,2,,,.故选:B.【点睛】本题考查了交集的运算,是基础题.2.在等差数列中,若为其前项和,,则的值是()A.60B.11C.50D.55【答案】D【解析】【分析】根据题中条件,由等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,即可求出结果.-17-
【详解】因为在等差数列中,若为其前项和,,所以.故选:D.3.过点(1,0)且与直线=平行的直线方程式()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用点斜式求直线的方程.【详解】解:过点且与直线平行的直线方程式为,即,故选:.【点睛】本题主要考查用点斜式求直线的方程,考查直线与直线平行条件的应用,属于基础题.4.在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则此三角形解的情况为()A.无解B.只有一解C.有两解D.解的个数不确定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得,进而判断解的情况.【详解】因为,,,所以由正弦定理可得,,所以或,-17-
当时,,满足题意;当时,,不能构成三角形,舍去.综上,,即三角形的解只有一个.故选:B.5.函数的图象大致是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,由,可知为奇函数,图象关于原点对称,排除,;令,可知,可知图象与轴只有一个交点,据此分析可得答案.【详解】解:由,可知-17-
为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,B;令,可知,可知图象与轴只有一个交点,排除D,故选:C.【点睛】本题考查函数的图象分析,注意分析选项中函数图象的异同,利用排除法分析.属于中档题.6.若且,则下列不等式中一定成立的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断.【详解】对于A,若,则不等式不成立;对于B,若,则不等式不成立;对于C,若均为负值,则不等式不成立;对于D,不等号的两边同乘负值,不等号的方向改变,故正确;故选:D【点睛】本题主要考查不等式的性质,需熟练掌握性质,属于基础题.7.若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题中条件,得到恒成立,分别讨论和两种情况,即可得出结果【详解】因为关于的不等式的解集为,-17-
所以不等式恒成立,若,则不等式可化为,显然恒成立;若,又恒成立,只需,解得,综上,实数的取值范围是.故选:C.8.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,书中提到:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则立夏的日影子长为:()A.15.5尺B.12.5尺C.9.5尺D.6.5尺【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组,求出立夏的影子长即可.【详解】因为从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,故可设该等差数列为,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为,,,,,公差为,由题可得:,即,解之得:,所以立夏的日影子长为:(尺).故选:D.【点睛】本题考查等差数列的应用,考查等差数列基本量的计算,考查逻辑分析能力和运算求解能力,属于常考题.9.已知函数,则()A.是奇函数,在R上单调递减B.是偶函数,在R上单调递增-17-
C.奇函数,在R上单调递增D.是偶函数,在R上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性的定义和单调性的知识可得答案.【详解】因为,所以是奇函数因为单调递增,单调递减,所以在R上单调递增故选:C10.已知数列的首项为2,且数列满足,数列的前项和为,则为()A.504B.588C.D.【答案】C【解析】【分析】算出数列前项,则可发现为周期数列,故可求.【详解】∵,,∴,,,,……,∴数列的周期为4,且,∵,∴,故选C.【点睛】对于数列,我们考虑其单调性和周期性,所谓周期性,就是存在不为零的正整数,是的对任意的恒成立,而数列为增数列,则指任意的,总有.11.在各项均为正数的等比数列中,,则的最大值是()A.25B.C.5D.-17-
【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质,求得,再结合基本不等式,即可求得的最大值,得到答案.【详解】由等比数列的性质,可得,又因为,所以,所以,当且仅当时取等号.故选:B.12.数列满足,对,都有,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意知,利用累加法可求得,所以,根据列项相消法求得和.【详解】因为对,都有且,所以,则,,所以.-17-
故选:D【点睛】本题考查累加法求数列通项公式,列项相消法求数列前n项和,属于中档题.第II卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式,进行求解即可.【详解】不等式等价为,即,即,则不等式的解集为,故答案为.【点睛】本题主要考查分式不等式的求解,将其转化为一元二次不等式是解决本题的关键,注意分母不为0.14.若直线与圆相交于,两点,且(其中为原点),则的值为________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意画出图形,再根据求出直线的倾斜角,求斜率即可.【详解】如图所示-17-
直线与圆恒过定点,不妨设,因为,所以,两种情况讨论,可得,.所以斜率.故答案为:【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,同时考查了数形结合的思想,属于简单题.15.若,满足约束条件,则的最大值为_____________.【答案】6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件,画出相应的可行域,再将目标函数化成斜截式,之后在图中画出直线,在上下移动的过程中,结合的几何意义,可以发现直线过B点时取得最大值,联立方程组,求得点B的坐标代入目标函数解析式,求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:-17-
由,可得,画出直线,将其上下移动,结合的几何意义,可知当直线在y轴截距最大时,z取得最大值,由,解得,此时,故答案为6.点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.16.如图所示,为了测量、两岛屿的距离,小明在处观测到、分别在处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶10海里至处,观测在处的正北方向,在处的北偏西60°方向,则、两岛屿的距离为______海里.-17-
【答案】【解析】【分析】中利用正弦定理求出,中求得,再在中利用余弦定理即得结果.【详解】连接AB,依题意,中,,故由正弦定理得,即,得.中,,故.中,,故由余弦定理得.故答案为:.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在中,角,,所对的边分别为,,,且.(1)求;-17-
(2)若,的面积为,求.【答案】(1)(2)【解析】分析】(1)利用正弦定理边角互化,结合两角和的正弦公式化简求解即可.(2)根据三角形的面积公式可得,再代入余弦定理求解即可.【详解】解:(1)由正弦定理得,所以,则,又因为,所以,,所以;(2)的面积为,所以,解得,由,所以.【点睛】本题主要考查了解三角形与三角恒等变换的运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简.属于基础题.18.已知数列的前项和为.(1)求证:数列是等差数列;(2)求的最大值及取得最大值时的值.【答案】(1)证明见解析;(2)前16项或前17项和最大,最大值为.【解析】【分析】(1)先由求通项公式,再利用定义法证明即可;(2)先判断的n的范围,得到数列的正负分布,即得何时最大.-17-
【详解】解:(1)证明:当时,,又当时,,满足,故的通项公式为,∴.故数列是以32为首项,为公差的等差数列;(2)令,即,解得,故数列的前16项或前17项和最大,此时.19.在中,角,,的对边分别为,,,且,.(1)求的外接圆半径;(2)求面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)先利用正弦定理化角为边,结合余弦定理求出角C,再利用正弦定理即得外接圆半径;(2)先利用余弦定理和基本不等式求得的最大值,再利用面积公式即得到面积的最大值.【详解】(1)由正弦定理得,即,故由余弦定理得,∵,∴,;-17-
(2),由,,得,由,得,即,∴,当且仅当时取等号.∴面积的最大值为.20.已知正项等比数列满足,,数列满足.(1)求数列,的通项公式;(2)令求数列的前n项和.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)根据等比数列的性质得出公比为,从而得出数列的通项公式,由对数的运算性质得出的通项公式;(2)求出,利用错位相减法求和即可.【详解】(1)正项等比数列的公比为,由,,可得,解得(舍)可得,则(2)两式相减可得-17-
化简可得【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求和,属于中档题.21.如图,在四棱锥中,为正三角形,平面平面,,,.(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积;【答案】(1)证明见解析过程;(2).【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质定理,结合平行线的性质、线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明即可;(2)根据棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】(1)取的中点,连结,如下图所示:-17-
因为为正三角形,所以,而平面平面,平面平面,所以平面,因为平面,所以.在平面中,因为,,所以,又因为平面,所以平面,而平面,所以平面平面;(2)由(1)可知:平面.因为为正三角形,,所以.设三棱锥的体积为,所以有.【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了棱锥的体积公式,考查了面面垂直的判定定理和性质定理,考查了线面垂直的判定定理和性质,考查了推理论证能力和数学运算能力.22.某市财政下拨一项专款百万元,分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目,植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金(单位:百万元)的函数单位:百万元):处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金(单位:百万元)的函数(单位:百万元):(1)设分配给植绿护绿项目的资金为(百万元),则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为,写出关于的函数解析式和定义域;(2)求出的最大值,并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少?【答案】(1),;(2)y的最大值为52百万元,分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元,60百万元.【解析】分析】-17-
(1)由题意可得处理污染项目投放资金为百万元,由此可得,再将与相加可得,再写出定义域即可.(2)将变形后利用基本不等式可得最大值以及取得最大值条件.【详解】(1)由题意可得处理污染项目投放资金为百万元,所以,所以,.(2)由(1)可得,,当且仅当=,即时等号成立,此时,所以的最大值为百万元,分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为百万元,百万元.【点睛】本题主要考查了函数的应用,基本不等式求最值,属于中档题.-17-
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