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2020-2021学年山东省威海市文登区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年山东省威海市文登区高三(上)期中数学试卷
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2020-2021学年山东省威海市文登区高三(上)期中数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)1.若밠ɲ孈=ɲ,则的虚部为()A..BC.ɲD.ɲ2.设全集=,集合=ݔlog=⸶ݔ=,ݔݔ⸶㌳䁃,则밠孈=()A.B.ݔݔ.Dݔݔ.C3.若,是平面外的两条直线,且,则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设复数满足밠=孈ɲሺ,则的最大值为()A.B.C.D.5.函数⸶ݔ⸶与孈䁃㌳밠ݔ的图象如图,则下列不等式一定成立的是()A.㌳䁃B.ሺ㌳䁃C.㌳D.log㌳6.已知䁪ݔ=孈ݔ밠数函若,数整大最的ݔ数实过超不示表䁪ݔ,函数的零点是ݔ䁃,则밠ݔ䁃孈=()A.B.C.D.7.《几何原本》卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点在半圆上,点在直径上,且,设=,=,则该图形可以完成的无字证明为()试卷第1页,总12页,A.밠㌳䁃㌳䁃孈B.ሺ밠㌳䁃㌳䁃孈C.밠㌳䁃㌳䁃孈D.밠㌳䁃㌳䁃孈8.已知数列的前项和为,满足=ሺ,(,均为常数),且=.设函数밠前的⸶列数则,孈밠=⸶记,cosሺݔsin=孈ݔ项和为()A.B.C.D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.)9.在数列中,若(为常数),则称为“等差比数列”,下列对“等差比数列”的判断错误的是()A.不可能为䁃B.“等差比数列”中的项不可能为䁃C.等差数列一定是“等差比数列”D.等比数列一定是“等差比数列”10.函数밠ݔ밠,时䁃ᦙݔ当,孈⸶밠ሺ孈ݔ밠=孈⸶ሺݔ밠有总⸶,ݔ意任对孈ݔ孈ᦙ䁃,,则下列命题中正确的是()A.밠ݔ孈是上的减函数B.밠ݔ孈在㘠㘠䁪上的最小值为C.밠ݔ孈是奇函数D.若밠ݔ为围范值取的ݔ数实则,孈ݔ밠ሺ孈ݔ䁃11.四边形中,,=䁃,==,,则下列表示正确的是()试卷第2页,总12页,A.B.C.D.12.在中,内角,,所对的边分别为,,,,的平分线交于点,且,则下列说法正确的是()A.的最小值是B.的最大值是C.ሺ的最小值是D.ሺ的最小值是三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中相应题的横线上.)13.在中国古代的音乐理论中,“宫、商、角、徵、羽”这五个音阶在确定第一个音阶之后,其余的音阶可采用“三分损益法”生成.例如:假设能发出第一个基准音的乐器的长度为,那么能发出第二个基准音的乐器的长度为,能发出第三个基准音的乐器的长度为,……,也就是依次先减少三分之一,后增加三分之一,以此类推,后来按照这种方法将音阶扩充到个,称为“十二律”.若能发出第六个基准音的乐器的长度为㘠,那么能发出第四个基准音的乐器的长度为________.14.已知单位向量满足.设,则向量的夹角的余弦值为________.15.如图所示,一块长为,宽为缺一角的长方形木板,是直线段.木工师傅想要在的中点处作延长线的垂线,可是直角曲尺长度不够,无法直接画出此线.请帮忙在边上找到一点,使得木工师傅能精准地完成该项任务,此时的长度为长.试卷第3页,总12页,16.如图,设的内角,,所对的边分别为,,,밠cosሺcos孈=sin,且=.若点是外一点,=,=,则当四边形面积最大时,=________,面积的最大值为________四、解答题:本题共6小题,共70分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.在①③,=ሺ②,=ሺሺ=这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中.若问题中的存在,求出的值;若不存在,请说明理由.设等差数列的前项和为,是各项均为正数的等比数列,设前项和为长若_____,_____,且得使,数整正的于大在存否是长=,=,,成等比数列?18.将函数밠ݔ孈=sin밠ݔሺ孈밠㌳䁃䁃ᦙᦙ孈的图象向右平移后得到밠ݔ孈图象,已知밠ݔ与,孈䁃밠点于交相轴⸶与象图该,示所图如象图分部的孈ݔ轴相交于点、,点为最高点,且.밠Ⅰ孈求函数밠ݔ孈的解析式,并求出밠ݔ孈在밠䁃孈上的递增区间;밠Ⅱ孈在中,、、分别是角、、的对边,밠孈=,且,求的最大值.19.已知向量,,函数.试卷第4页,总12页,밠Ⅰ孈若=ݔ밠求,时当,孈的值域;밠Ⅱ孈若밠ݔ孈为偶函数,求方程在区间䁪上的解.20.已知正项数列的前项和为,ሺ=ሺ足满且,=.밠Ⅰ孈求数列的通项公式;밠Ⅱ孈当,ɲ(ɲ,,均为正整数)时,求ɲ和的所有可能的乘积ɲ之和.21.已知函数밠ݔሺݔnl孈ሺݔ밠=孈ݔ.밠Ⅰ孈当=时,求曲线⸶=밠밠(点在孈ݔ孈)处的切线方程;밠Ⅱ孈若ݔ밠,时孈ሺݔ孈䁃,求实数的取值范围.22.已知函数밠ݔnis밠ݔ=孈ݔ밠,ݔݔsocݔ=孈ݔ孈.밠Ⅰ孈讨论밠ݔ孈在区间上的单调性;밠Ⅱ孈判断밠ݔ孈밠ݔ孈在区间上零点的个数,并给出证明.试卷第5页,总12页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省威海市文登区高三(上)期中数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.B2.B3.A4.B5.D6.A7.D8.D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.B,C,D10.B,C,D11.12.A,D三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中相应题的横线上.13.14.15.长밠孈16.,ሺ试卷第6页,总12页,四、解答题:本题共6小题,共70分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.设等差数列的公差为,的公比为밠㌳䁃孈,由题意知,,∴==,整理得ሺ=,得=밠㌳䁃孈,∴.(1)当选取条件①②时,有,即,解得.∴=ሺ䁃,,∴,若,,成等比数列,则,∴即,孈㘠ሺ밠=㘠ሺ=䁃,解得=,∵为正整数,∴不符合题意,此时不存在;(2)当选取条件①③时,有,∴,解得.∴=ሺ,.∴=,㘠=,,若,,成等比数列,则,∴=或㘠=得解,䁃=㘠ሺ即,孈ሺ밠=(舍),试卷第7页,总12页,此时存在正整数=㘠满足题意;(3)当选取条件为②③时,有,∴,解得.∴=,,∴,若,,成等比数列,则,即=,即ሺ=䁃,解得=.∵为正整数,∴不符合题意,此时不存在.18.(1)由题意知,由于,则,所以=,即=,又由于,所以.因为䁃ᦙᦙ,则,即,当时,得到,试卷第8页,总12页,所以밠ݔ孈在밠䁃孈上的递增区间为和.(2)因为,则,所以,由余弦定理得ሺcos==,所以=ሺ,,当且仅当=时取等.故的最大值为.19.(I)向量,,函数,所以,当=,,由,∴,∴,所以밠ݔ孈的值域为.밠㘠㘠孈若밠ݔ孈为偶函数,则밠ݔ孈=밠ݔ孈恒成立,即成立,整理得sinݔ=䁃,∴=䁃,所以由得,试卷第9页,总12页,又ݔ䁪,∴.20.(1)∵ሺ=ሺ,∴=ሺ밠孈,两式相减得ሺ=,∴,由==又,ሺ=ሺ得ሺ,∴.所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.(2)由ɲ和的所有可能乘积밠ɲ孈,可构成下表.设上表第一行的和为,则,所以…ሺ孈=.21.(I)当=时,밠ݔሺݔnl孈ሺݔ밠=孈ݔ,,所以밠孈=,即切线斜率=,又밠孈=䁃,所以切线方程为⸶=밠ݔ即,孈ݔ⸶=䁃.밠㘠㘠孈,.当ݔ밠,时孈ሺݔ孈䁃,试卷第10页,总12页,所以밠在孈ݔሺ孈上单调递增,所以밠ݔ孈밠孈=ሺ.(1)当ሺ䁃即时,밠在孈ݔ밠以所,䁃孈ݔሺ孈上单调递增,所以밠ݔ孈밠孈=䁃,满足题意.(2)当ሺᦙ䁃即ᦙ时,必存在ݔ䁃밠ሺ孈,当ݔ밠,孈ݔݔ孈ᦙ䁃,䁃ݔ밠,孈ሺݔ밠ݔ孈㌳䁃,䁃所以밠ݔ밠在,减递调单上孈䁃ݔ在孈ݔ䁃ሺ孈上单调递增,所以밠ݔ孈min=밠ݔ䁃孈ᦙ밠孈=䁃,所以밠ݔ孈䁃不恒成立,所以ᦙ不满足题意.综上,的取值范围为.22.밠㘠孈,.∵,∴sinݔᦙ䁃,∴밠ݔ孈㌳䁃,所以밠ݔ孈在上单调递增,밠ݔ孈ᦙ밠䁃孈=䁃,∴밠ݔ孈在上单调递减.밠㘠㘠孈밠ݔ孈밠ݔ孈在区间上有且仅有个零点.证明:令밠ݔ孈=밠ݔ孈밠ݔ孈=ݔcosݔݔsinݔ,所以밠ݔ孈=ݔ밠cosݔsinݔ孈밠ݔcosݔሺsinݔ孈,①当时,因为밠cosݔsinݔ孈㌳䁃,밠ݔcosݔሺsinݔ孈㌳䁃,∴单调递增,又,∴上有一个零点;②当,试卷第11页,总12页,∴밠ݔݔ밠ݔnis=ݔnisݔݔnisݔݔnisݔݔsocݔ=孈ݔ孈㌳䁃恒成立,∴上无零点;③当,∴밠ݔ孈=ݔ밠cosݔsinݔ孈밠ݔcosݔሺsinݔ孈ᦙ䁃,∴上单调递减,,∴上必存在一个零点,综上,밠ݔ孈밠ݔ孈在区间上有且仅有个零点.试卷第12页,总12页
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