2022版高考数学 3-2-1精品系列 专题13 复数、推理与证明

2022版高考数学3-2-1精品系列专题13复数、推理与证明（学生版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布2022考纲解读考纲原文：数系的扩充与复数的引入　（1）复数的概念　①理解复数的基本概念.　②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算.　②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.考纲解读：考查复数的有关概念（纯虚数、模、共轭复数等）；考查复数的代数运算；注意复数相等的考查；对复数的几何意义也要掌握。合情推理与演绎推理一般以填空题考查为主，类比推理多一些，常与其它知识结合（如立体几何、数列等）；证明一般不单独命题。近几年考点分布复数问题在高考中年年必有,从近几年的高考试题来看,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一步的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用。推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力，表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现。【考点pk】名师考点透析考点一、复数的基本运算\n2、复数的乘法与除法复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；例2.已知复数的实部为，虚部为2，则=（）A．B．C．D．【解析】：由题意知，则，所以选A．【答案】A【名师点睛】：复数的最本质的运算方式是代数形式的运算，所以代数形式运算是试题考查的重点，其试题难度一般，试题活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力．【备考提示】：本题主要考查了复数的基本运算，复数的四则运算是复数的一个重点考查热点，也是掌握复数的基础.考点二考查类比推理\n【三年高考】10、11、12高考试题及其解析12高考试题及其解析一、选择题1．（2022浙江文理）已知i是虚数单位,则=（　　）A．1-2iB．2-iC．2+iD．1+2i【解析】【答案】D【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则,通过利用分母实数化运算求解.2．（2022天津文）是虚数单位,复数（　　）A．B．C．D．【解析】复数,选C.3．（2022天津理）是虚数单位,复数（　　）A．B．C．D．\n5．（2022上海理）若是关于x的实系数方程的一个复数根,则（　　）A．.B．.C．.D．.【解析】实系数方程虚根成对,所以也是一根,所以-b=2,c=1+2=3,选B.6．（2022陕西文理）设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】,复数为纯虚数,故选B.7．（2022山东文理）若复数z满足为虚数单位),则为（　　）A．3+5iB．3-5iC．-3+5iD．-3-5i【解析】.答案选A.另解:设,则根据复数相等可知,解得,于是.8．（2022辽宁文）复数（　　）A．B．C．D．【解析】,故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算,属于容易题.复数的运算要做到细心准确.9．（2022课标文）复数z=的共轭复数是（　　）\nA．B．C．D．【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念,是简单题.【解析】∵==,∴的共轭复数为,故选D.10．（2022江西文）若复数z=1+i(i为虚数单位)是z的共轭复数,则+²的虚部为（　　）A．0B．C．1D．12．（2022广东文）设为虚数单位,则复数（　　）A．B．C．D．【解析】.【答案】D13．（2022福建文）复数等于（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点定位】考查复数的代数运算,是常考题.14．（2022北京文）在复平面内,复数对应的点坐标为（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】,实部是1,虚部是3,对应复平面上的点为,故选A【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念.15．（2022安徽文）复数满足:;则（　　）A．B．C．D．【解析】选\n16．（2022新课标理）下面是关于复数的四个命题:其中的真命题为的共轭复数为的虚部为（　　）A．B．C．D．[点评]突出考查知识点,不需采用分母实数化等常规方法,分子直接展开就可以.18．（2022辽宁理）复数（　　）A．B．C．D．【解析】,故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算,属于容易题.复数的运算要做到细心准确.19．（2022湖北理）方程的一个根是（　　）A．B．C．D．【解析】根据复数求根公式:,所以方程的一个根为【答案】A20．（2022广东理）设为虚数单位,则复数（　　）A．B．C．D．【解析】.【答案】D21．（2022福建理）若复数满足,则等于（　　）A．B．C．D．\n【解析】,故选A【考点定位】本题主要考查复数的代数运算,主要掌握复数四则运算法则.22．（2022大纲理）复数（　　）A．B．C．D．【命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则.通过利用除法运算来求解.【解析】因为答案C23．（2022北京理）设,“”是“复数是纯虚数”的（　　）A．充分而不必要B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解析】当时,如果,此时是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果已经是纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到,因此是必要条件,故选B.【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件,但问题中汲到了复数问题,复数部分本题所考查的是纯虚数的定义.24．（2022安徽理）复数满足:;则（　　）A．B．C．D．【解析】选【考点定位】考查复数运算.26、（2022年高考（上海理））设,.在中,正数的个数是A．25.B．50.C．75.D．100.【解析】对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.\n27、（2022年高考（江西文））观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12.则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为（　　）A．76B．80C．86D．92【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,则所求为第20项,可计算得结果.【答案】B28．（2022江西理）观察下列各式：a+b=1.a²2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（　　）A.28B.76C.123D.199【解析】本题考查归纳推理的思想方法.观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11，18,29,47,76,123,…，故选C【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.二、填空题1．（2022上海文）计算:=_______(i为虚数单位).【解析】.\n2．（2022湖北文）若(为实数,为虚数单位),则____________.【解析】因为,所以.又因为都为实数,故由复数的相等的充要条件得解得所以.【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化,也可以求解,但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义,基本概念(共轭复数),基本运算等的考查.3．（2022重庆理）若,其中为虚数单位,则__________________;【解析】.【考点定位】本题主要考查复数的乘法运算与复数相等的充要条件,此题属于基础题,只要认真计算即可得分.4．（2022上海理）计算:=_______(i为虚数单位).7．（2022江苏）设,(i为虚数单位),则的值为____.【答案】8.【考点】复数的运算和复数的概念.【解析】由得,所以,.8．（2022湖南理）已知复数(i为虚数单位),则|z|=_____.【解析】=,.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式,利用\n求得.9、（2022陕西文理）观察下列不等式,照此规律,第五个不等式为。（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此,则答案为.11、（2022湖北文）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,记为数列\n,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:(Ⅰ)是数列中的第______项;(Ⅱ)______.(用表示)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,,的一个通项公式为,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故.从而由上述规律可猜想:(为正整数),,故,即是数列中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.【解析】题目要求联通所有的城市，且费用最小，则首先连接费用最小的城市，连接方法如下：连接，此时联通两个城市，费用为；再连接，此时联通三个城市，费用为；再连接，此时联通四个城市，费用为；\n再连接，此时联通五个城市，费用为；再连接，此时联通六个城市，费用为；再连接，此时联通七个城市，费用为。所以铺设道路的最小总费用为16。本题考查的知识点为演绎推理，理解题意，直接计算最小值即可。13、（2022湖南理）设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.14、2022湖南文）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[（1）b2+b4+b6+b8=_　　_；（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知；；一次类推；；；，，，\nb2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.11年高考试题及解析1、（福建文2）．i是虚数单位，1＋i3等于A．iB．－iC．1＋iD．1－i【解析】因为，故选D.2、（四川理2）．复数4、（辽宁文2）．为虚数单位，A．0B．2C．D．4解析：。5、（北京文、理2）复数A.B.C.D.【解析】：，选A。6、（课标卷文2）.复数（）ABCD解析：因为，所以选C点评：本题考查复数的概念和运算，注意除法运算的关键是分母实数化。7、（天津文1）．是虚数单位，复数（　　）．Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．\n【解】．故选Ａ．8、（天津理1）．是虚数单位，复数（　　　）．　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．【解】．故选Ａ．9、（江西理1）.设，则复数A.B.C.D.11、（广东理1）．设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=A．1+iB．1-iC．2+2iD．2-2i12、（课标卷理1）.复数的共轭复数是C（A）（B）（C）（D）解析：因为=，所以，共轭复数为，选C点评：本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。13、（山东文、理2）.复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（A）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.14、（全国理1）.复数，为的共轭复数，则\n(A)-2(B)-(C)(D)215、【命题意图】：本小题主要考查复数的运算及共轭复数的概念。【解析】：，则16、（浙江文2）.若复数，为虚数单位，则A．B．C．D．3【解析】：故选A17、（浙江理2）.把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（A）（B）（C）（D）19、（湖南文２理1）．若为虚数单位，且，则Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．解析：因，根据复数相等的条件可知，答案：C20、（湖北理1）.为虚数单位，则A.B.C.D.【答案】A解析：因为，所以，故选A.21、（福建理1）．是虚数单位，若集合，则A．B．C．D．【解析】：，故选B\n22、(安徽文、理1)设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（A）2(B)2(C)(D)25、（上海理19）．（本大题满分12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数，求．解：………（4分）设，则，……（12分）∵，∴………………（12分）26、（陕西理13）．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49………照此规律，第个等式为【答案】【解析】：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即27、（江西文6）.观察下列各式：则，…，则\n的末两位数字为（）A.01B.43C.07D.4929、（湖南文16）、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，（1）设，则其中一个函数在处的函数值为；（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为。答案：（1），（2）16解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。（2）由题可知，则，而时，即，即，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。30、（四川文16）.函数的定义域为A,若A，且时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题：①函数是单函数；②函数是单函数，③若为单函数，\n且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是（写出所有真命题的编号）31、（四川理16）.函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：①函数=（xR）是单函数；若为单函数，②若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；③函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）解析：，但，∴①不正确；与“若A，且时总有”等价的命题是“若A，且时总有，故②③正确.函数在某个区间上具有单调性，但f（x）在整个定义域不一定是单函数，故④错.答案：②③32、（湖南理16）.对于，将表示为，当时，，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，，故，），则（1）；（2）.\n33、（山东理15）.设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，.【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.2022年高考试题及解析1、（2022湖南文数）1.复数等于A.1+IB.1-iC.-1+iD.-1-i2、（2022浙江理数）（5）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是\n（A）（B）（C）（D）5、（2022陕西文数）2.复数z=在复平面上对应的点位于(A)第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义，所以点（位于第一象限6、（2022辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数，则（A）(B)(C)(D)【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由可得，所以，解得，，故选A。7、（2022江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得，没有虚部，x=1,y=2.8、（2022安徽文数）(2)已知，则i()=(A)(B)(C)(D)【解析】，选B.\n【方法总结】直接乘开，用代换即可.9、（2022浙江文数）3.设i为虚数单位，则(A)-2-3i(B)-2+3i(C)2-3i(D)2+3i12、（2022四川理数）（1）i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（A）－1（B）1（C）（D）解析：由复数性质知：i2＝－1故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1答案：A13、（2022天津文数）(1)i是虚数单位，复数=(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i(D)2-i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。14、（2022天津理数）（1）i是虚数单位，复数(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。15、（2022广东理数）2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（）A．4+2iB.2+iC.2+2iD.32.A．16、（2022福建文数）是虚数单位,等于()\nA．iB．-iC．1D．-1【解析】=,故选C．【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力．17、（2022全国卷1理数）(1)复数(A)i(B)(C)12-13(D)12+1318、18、（2022山东理数2）已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=(A)-1(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】由得,所以由复数相等的意义知,所以1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。19、（2022安徽理1）、是虚数单位，A、B、C、D、【解析】，选B.【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.20、（2022湖北理数）1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是A．EB.FC.GD.H\n【答案】D【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，－1），故D正确.【两年模拟】2022年模拟试题【四川省南充2022届高三月考】已知是虚数单位，且，则实数,分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【四川省成都市2022届高三9月月考】复数=（）A．B．C．D．【答案】B【四川省德阳市2022届第一次诊断】已知复数在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【陕西省长安2022届第一次考试理已知，其中为虚数单位，则A．B．1C．2D．3【答案】B【安徽省皖南八校2022届高三第二次联考理】复数表示复平面内的点位于\nA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【江苏省南京师大附中2022届高三12月检试题】若a,b∈R，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i，则a+b=．【答案】【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】若复数满足则【答案】【江西省赣州市2022届上学期高三期末】A.B.C.D.【答案】B【河南省郑州市2022届高三第一次质量预测】如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于A.B.C.D.2【答案】A【哈尔滨市六中2022学年度上学期期末】已知是实数，是纯虚数，则=（）A.1B.C.D.【答案】A【安师大附中2022届高三第五次模拟】复数等于（）A．B.C.D.【答案】C【广东省江门市2022年普通高中高三调研测试】复数（是虚数单位）的虚部是\nA．B．C．D．【答案】D【辽宁省沈阳四校协作体2022届高三上学期12月月考】复数的共轭复数是()A．B．C．D．【黑龙江省绥棱一中2022届高三期末】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值是A-2B4C-6D6【答案】D【西安市第一中学2022学年度第一学期期中】把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（）A.B.C.D.【答案】A【北京市西城区2022学年度第一学期期末】复数（）[（A）（B）（C）（D）【答案】A【福建省南安一中2022届高三上期末】设是虚数单位），则．【答案】1【浙江省名校新高考研究联盟2022届第一次联考】复数的模是_______.【答案】【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】表示为\n=。【答案】2【四川省成都外国语学校2022届高三12月月考】已知为虚数单位，且复数为纯虚数，则实数的值是（）。A.0或1B.C.0D.1【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】（本题满分12分）本题有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。已知关于t的方程一个根为（1）求方程的另一个根及实数a的值；（2）若上恒成立，试求实数m的取值范围。【答案】【浙江省宁波四中2022届高三上学期第三次月考理】已知数列，把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵。记表示该数阵中第行的第个数，则数阵中的对应于\nA．B．C．D．【答案】A【浙江省宁波四中2022届高三上学期第三次月考理】对于任意实数，定义运算，其中为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知，，且有一个非零实数，使得对任意实数，都有，则_______【答案】5【四川省绵阳2022届高三九月】若是定义在上的函数，对任意的实数，都有和且，则的值是A．2022B．2022C．2022D．2022【广东省2022学年度第一学期期末】规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即，则函数的值域是．【答案】【广东省2022学年度第一学期期末】观察下列等式:,,,,由以上等式推测:对于,若,则.\n【答案】【广东省江门市2022年普通高中高三调研测试】定义、、、的运算结果分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(M)、(N)所对应的运算结果可能是A．、B．、C．、D．、【答案】B【山东聊城市五校2022届高三上学期期末联考】某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得（）A.当时，该命题不成立B.当时，该命题成立C.当时，该命题成立D.当时，该命题不成立【北京市朝阳区2022届高三上学期期末考试】已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_________；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整数），则的值分别为____________.\n【答案】（1）255（2）8，13__【四川省德阳市2022届高三第一次诊断理】我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对法数：在函数解析式两边求对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是。【陕西省长安一中2022届高三开学第一次考试理】设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，．【答案】【山西省太原五中2022届高三9月月考理】用数学归纳法证明“”时，由的假设证明\n时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（　　）A．B．C．D．【答案】D【山西省太原五中2022届高三9月月考理】直线3x-4y+5=0经过变换后，坐标没变化的点为；【安徽省望江县2022届高三第三次月考理】已知等差数列中，有，则在等比数列中，会有类似的结论_____________。【答案】【安徽省皖南八校2022届高三第二次联考理】设，则满足的最小正整数是A、7B、8C、9D、10【答案】C【解析】要使成立，只要比较函数上的整点与原点连线的斜率即可，函数上的横坐标为正数的整点分别为\n可得，所以最小正整数【安徽省皖南八校2022届高三第二次联考理】观察下列等式：…，根据以上规律，________________。（结果用具体数字作答）【江西省赣州市2022届上学期高三期末】已知，若(均为实数)，类比以上等式可推测的值，则.【答案】【辽宁省沈阳四校协作体2022届高三上学期12月月考】如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第3个数（从左往右数）为_________________.\n【答案】【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】设函数，其中是给定的正整数，且。如果不等式在区间上有解，则实数的取值范围是。【江苏省南京师大附中2022届高三12月检试题】已知实数x，y满足，则xy的取值范围是　　．【答案】[,2]【江苏省南京师大附中2022届高三12月检试题】已知是正实数，设，若对每个实数a，∩的元素不超过２个，且存在实数a使∩含有２个元素，则的取值范围是．【答案】【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】根据下面一组等式：…………可得．【答案】\n【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是【答案】C【四川省成都外国语学校2022届高三12月月考】若三个连续的两位数满足下列条件：①它们的和仍为两位数；②它们的和的个位数字比原来的三个数的每一个数的个位数字都大；则称这样的三个数为“三顶数”，则这样的“三顶数”的组数有（）组。A.9B.10C.11D.12【答案】C2022年模拟试题一、选择题:1、（2022巢湖一检）复数（i为虚数单位）的虚部是(D)A.B.C.D.2、（2022·温州十校高三期末）如果（，表示虚数单位），那么（B）（A）1（B）（C）2（D）03、（广东省深圳市2022年3月高三第一次调研理科）已知，若（其中为虚数单位），则()A、B、C、D、4.C【解析】5．（广东省深圳市2022年3月高三第一次调研文科）复数（其中为虚数单位）在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限\nB【解析】因此在复平面上对应的点位于第二象限.6.(2022承德期末)复数，则实数的值是（B）A．B．C．D．10、(广东省江门市2022年高考一模文科)在复平面内，点、对应的复数分别是、，则线段的中点对应的复数是(C)A．B．C．D．11、（广东省江门市2022年高考一模理科)已知集合，若，则(C)A．B．C．D．12、（2022杭州质检）设z=1+i（i是虚数单位），则（D）A．B．C．D．13、(广东省广雅金山佛一中2022年2月高三联考文科)复数等于（C）A．B．C．D．14、(2022·汕头期末)若复数是纯虚数，则实数的值为()A.1B.2C.1或2D.-1解：．由且得，选B；15、(广东省广雅金山佛一中2022年2月高三联考理科)复数的虚部是（C）A．0B．iC．1D．-1\n16．(2022·南昌期末)已知复数的实部为，虚部为2，则=(A)A．B．C．D．20、（2022·金华十二校一联）复数在复平面上对应的点位于（B）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限21、（2022·九江七校二月联考）复数的虚部是（C）A．B．C．D．22、(2022·惠州三调)在复平面内，复数对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】答案：Dz＝＝＝－i.故选D.23、(广东执信中学2022年2月高三考试文科)已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（C）A．B．C．D．24、(广东省遂溪县2022年高考第一次模拟数学文科)复数(D)A．B．C．D．25、(安徽省合肥市2022年高三第一次教学质量检测理科)在复平面内，复数(是虚数单位)对应的点在（B）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限\n【解析】,显然，其对应的点在第二象限.28、（2022广州调研）已知i为虚数单位,则复数i的模等于(C)A.B.C.D.29、(安徽省2022年江南十校高三联考理科)是虚数单位，复数的虚部是（B）A．0B．C．D．2解析：∴虚部为－1，故选B.30、(安徽省2022年江南十校高三联考文科)是虚数单位，复数的虚部是（B）A．0B．C．D．解析：∴虚部为-1，故选B.31、(安徽省淮南市2022届高三第一次模拟考试文科)若将复数表示为（，是虚数单位）的形式，则（C）A．B．C．D．【解析】，则32、(安徽省安庆市2022年高三第二次模拟考试理科)已知复数z＝（i是虚数单位），则z在复平面上对应的点在(B)A.第一象限　　　B.第一象限　　　C.第三象限　　　　D.第四象限二、填空题:\n33、（2022北京丰台区期末）复数=1+i．34、（2022·上海长宁区高三期末）若复数，，其中i是虚数单位，则复数的虚部是2．38、(广东省广雅金山佛一中2022年2月高三联考文科)已知，根据这些结果，猜想出一般结论是39、广东省江门市2022年高考一模文科)观察下列各式：①；②；③；④根据其中函数及其导函数的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是：奇函数的导函数是偶函数【一年原创】一、选择题1下面四个命题(1)比大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3)的充要条件为(4)如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（）ABCD【解析】A(1)比大，实数与虚数不能比较大小；（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；（3）的充要条件为是错误的，因为没有表明是否是实数；\n（4）当时，没有纯虚数和它对应2复数的虚部为()ABCD4设则的关系是()ABCD无法确定【解析】A5的值是()ABCD【解析】C6已知集合的元素个数是()ABCD无数个【解析】B7．已知（）A．B．C．D．【解析】选D.8．是虚数单位，若，则（　）\n.　　　．　　．　　　．【解析】选A.9、复数的值是A．-1B．0C．1D．i【解析】B10、已知复数z=1－i，则=A．－2B．2C．2－2iD．2+2i12如果,复数在复平面上的对应点在象限【解析】，13若复数是纯虚数,则=【解析】14设若对应的点在直线上,则的值是【解析】15、若,那么的值是\n【解析】三、解答题16设复数满足,且是纯虚数,求17已知复数满足:求的值解：设，而即则18、已知△ABC的三边长都是有理数。（1）求证：cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。【解析】方法一：（1）设三边长分别为，，∵是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数。（2）①当时，显然cosA是有理数；当时，∵，因为cosA是有理数，∴也是有理数；②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，，\n，，解得：∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，∴是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。方法二：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。②假设当时，和都是有理数。当时，由，，及①和归纳假设，知和都是有理数。即当时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。19、设数列满足为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设，证明：;（Ⅲ）设，证明：\n(Ⅲ)设,当时，，结论成立；当时，由(Ⅱ)知，∴.∴.20、已知数列：，，，（是正整数），与数列：，，，，（是正整数）．记．（1）若，求的值；（2）求证：当是正整数时，；（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．\n∴这些项均不可能取到100.此时，为100.21、已知数列，，，．记．．求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。\n【考点预测】2022高考预测复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择或填空题为主。合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；预计2022年高考将会有较多题目用到推理证明的方法复习建议对复数的复习,应紧扣概念,理顺关系,掌握代数运算法则,重点解决:复数概念的理解;复数的代数运算法则推理证明题主要和其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理的解题思路；\n【母题特供】母题一：金题引路：若复数的实部和虚部相等，则实数a等于（）A－1BCD1答案B母题二：金题引路：若复数，则实数a＝（）A1B－1C2D－2答案B母题四：金题引路：已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A′,B′,C′,则++=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.++=++==1，请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.母题五、金题引路：设复数(1)当时，求的值；(2)若复数\n所对应的点在直线上，求的值。解：（1），…2分。….5分（2）由条件得，。…….9分原式=。