【三维设计】2022届高考数学一轮复习 教师备选作业 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质 理

第七章第五节直线、平面垂直的判定及性质一、选择题1．给出以下命题，其中错误的是(　　)A．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B．垂直于同一平面的两条直线互相平行C．垂直于同一直线的两个平面互相平行D．两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m3．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ4．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有(　　)A．0个　　　　　　　　　　B．1个C．2个D．3个5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是(　　)A．①③B．②④C．①④D．②③6．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是-6-\n(　　)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′－BCD的体积为二、填空题7．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)8．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写个你认为是正确的条件即可)三、解答题10.三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.11.如图，三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.12．如图，直角三角形BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，其中DC⊥CB，PA⊥平面ABC，DC＝BC＝2PA，E、F分别为DB、CB的中点．(1)证明：AE⊥BC；-6-\n(2)求直线PF与平面BCD所成的角．详解答案一、选择题1．解析：一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线，但这条直线不垂直这个平面．答案：A2．解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面可知B正确．答案：B3．解析：对于A，由m⊂β，α⊥β显然不能得知m⊥α；对于B，由条件也不能确定α∥β；对于C，由m∥α得，在平面α上必存在直线l∥m.又m⊥β，因此l⊥β，且l⊂α，故α⊥β；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，因此D也不正确．答案：C4．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.答案：C5．解析：对于①，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①是正确的；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此②是错误的；对于③，直线n可能位于平面α内，此时结论显然不成立，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．答案：C6．解析：取BD的中点O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，∴A′C不垂直于BD，A错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD内的射影为A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝，∴A′B⊥A′D，-6-\nA′B⊥A′C，B正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；VA′－BCD＝S△A′BD·CD＝，D错误．答案：B二、填空题7．解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要8．解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD.∴AC⊥GH.又GH∩EF＝H，∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG，其周长为＋.答案：＋9．解析：由PA⊥BD，AC⊥BD可得BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)三、解答题10.证明：∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2.设AD＝x，则BD＝2－x，∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(2－x)2，A1E2＝(2)2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝.∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.11.解：(1)∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.-6-\n又∵＝＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF.∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝，AB＝tan60°＝.∴AC＝＝.由AB2＝AE·AC，得AE＝.∴λ＝＝.12．解：(1)证明：连接EF，AF.因为E、F分别是BD、BC的中点，所以EF∥DC.又DC⊥BC，所以EF⊥BC.因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AF.EF∩AF＝F所以BC⊥平面AEF，又AE⊂平面AEF，故BC⊥AE.(2)连接PE.因为平面BCD⊥平面ABC，DC⊥BC，AF⊥BC，所以DC⊥平面ABC，AF⊥平面BCD.因为PA⊥平面ABC，PA＝DC，所以PA綊DC.又因为EF綊DC，所以EF綊PA，故四边形APEF为矩形．所以PE綊AF.所以PE⊥平面BCD.则∠PFE即为直线PF与平面BCD所成的角．在Rt△PEF中，因为PE＝AF＝BC，EF＝DC＝BC，所以tan∠PFE＝＝，-6-\n故∠PFE＝60°，即直线PF与平面BCD所成的角为60°.-6-