【三维设计】2022届高考数学一轮复习 数学思想活用 巧得分系列四 转化与划归思想在导数研究函数中的应用 新人教版

【三维设计】2022届高考数学一轮复习数学思想活用巧得分系列四转化与划归思想在导数研究函数中的应用新人教版[典例]　(2022·山西四校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0)．(1)若a＝1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；(2)若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，求实数m的取值范围．[解]　(1)当a＝1时f(x)＝x3＋x2－x＋m.∵函数f(x)有三个互不相同的零点，∴x3＋x2－x＋m＝0即m＝－x3－x2＋x有三个互不相等的实数根．令g(x)＝－x3－x2＋x，则g′(x)＝－3x2－2x＋1＝－(3x－1)·(x＋1)，∴g(x)在(－∞，－1)和上均为减函数，在上为增函数，∴[g(x)]极小值＝g(－1)＝－1，[g(x)]极大值＝g＝，∴m的取值范围是.(2)∵f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a)，且a>0，3\n∴当x<－a或x>时，f′(x)>0；当－a<x<时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和，单调递减区间为.当a∈[3,6]时，∈[1,2]，－a≤－3.又x∈[－2,2]，∴[f(x)]max＝max{f(－2)，f(2)}，又f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，∴[f(x)]max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m.又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，∴[f(x)]max≤1即－8＋4a＋2a2＋m≤1，即当a∈[3,6]时，m≤9－4a－2a2恒成立．∵9－4a－2a2在[3,6]上的最小值为－87，∴m的取值范围是(－∞，－87]．[题后悟道]　所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．解答本题利用了转化与化归思想，第(1)问中把函数的零点问题转化为g(x)＝－x3－x2＋x与y＝m图象的交点；第(2)问中把问题转化为求f(x)在[－2,2]的最大值，利用最大值小于等于1，进一步转化为m≤9－4a－2a2在a∈[3,6]恒成立，从而可求m的范围．针对训练设函数f(x)＝x3＋x2＋x，g(x)＝2x2＋4x＋c.当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围．解：设f(x)＝g(x)，则有x3＋x2＋x＝2x2＋4x＋c，所以c＝x3－x2－3x.设F(x)＝x3－x2－3x，则F′(x)＝x2－2x－3，令F′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如表所示：x－3(－3，－1)－1(－1,3)3(3,4)4F′(x)＋0－0＋F(x)－9极大值极小值－3\n由表可知F(x)在[－3，－1]，[3,4]上是增函数，在[－1,3]上是减函数．当x＝－1时，F(x)取得极大值F(－1)＝；当x＝3时，F(x)取得极小值F(3)＝－9，而F(－3)＝－9，F(4)＝－.如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与y＝c有两个公共点，所以－<c<或c＝－9.3