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【三维设计】2022届高考数学一轮复习 热点难点突破 不拉分系列(二)多法并举 求函数值域不犯难 新人教版
【三维设计】2022届高考数学一轮复习 热点难点突破 不拉分系列(二)多法并举 求函数值域不犯难 新人教版
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【三维设计】2022届高考数学一轮复习热点难点突破不拉分系列(二)多法并举求函数值域不犯难新人教版 函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定,但因函数千变万化,形式各异,值域的求法也各式各样,因此求函数的值域就存在一定的困难,解题时,若方法适当,能起到事半功倍的作用.求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2都已讲解)、判别式法、数形结合法等.1.数形结合法利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观性来求函数的值域,是一种常见的方法,如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键.[典例1] 对a,b∈R,记max|a,b|=函数f(x)=max||x+1|,|x-2||(x∈R)的值域是________.[解析] f(x)=由图象知函数的值域为.[答案] [题后悟道] 利用函数所表示的几何意义求值域(最值),通常转化为以下两种类型:(1)直线的斜率:可看作点(x,y)与(0,0)连线的斜率;可看作点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.(2)两点间的距离:可看作点(x,y)与点(x1,y1)之间的距离.针对训练1.函数y=+的值域为________.3\n解析:函数y=f(x)的几何意义为:平面内一点P(x,0)到两点A(-3,4)和B(5,2)距离之和.由平面几何知识,找出B关于x轴的对称点B′(5,-2).连接AB′交x轴于一点P即为所求的点,最小值y=|AB′|==10.即函数的值域为[10,+∞).答案:[10,+∞)2.判别式法对于形如y=(a1,a2不同时为零)的函数求值域,通常把其转化成关于x的一元二次方程,由判别式Δ≥0,求得y的取值范围,即为原函数的值域.[典例2] 函数y=的值域为________.[解析] 法一:(配方法)∵y=1-,又x2-x+1=2+≥,∴0<≤,∴-≤y<1.∴函数的值域为.法二:(判别式法)由y=,x∈R,得(y-1)x2+(1-y)x+y=0.∵y=1时,x∈∅,∴y≠1.又∵x∈R,∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,∴-≤y<1.∴函数的值域为.[答案] [题后悟道] 本题解法二利用了判别式法,利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在a(y)≠0时,若x∈R,则Δ3\n≥0,从而确定函数的最值;再检验a(y)=0时对应的x的值是否在函数定义域内,以决定a(y)=0时y的值的取舍.针对训练2.已知函数y=的最大值为7,最小值为-1,则m+n的值为( )A.-1 B.4C.6D.7解析:选C 函数式可变形为(y-m)x2-4x+(y-n)=0,x∈R,由已知得y-m≠0,所以Δ=(-4)2-4(y-m)·(y-n)≥0,即y2-(m+n)y+(mn-12)≤0,①由题意,知不等式①的解集为[-1,7],则-1、7是方程y2-(m+n)y+(mn-12)=0的两根,代入得,解得或所以m+n=6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法,准确记忆常见函数的值域,熟练掌握各种类型函数值域的求法,除前面介绍的几种方法外,还有单调性法、导数法(以后还要讲解).3
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 14:58:39
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文章作者:U-336598
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