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【优化指导】2022高考数学总复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法课时演练 理 新人教A版
【优化指导】2022高考数学总复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法课时演练 理 新人教A版
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活页作业 立体几何中的向量方法(理)一、选择题1.已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( )A.a∥c,b⊥c B.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥b D.以上都不对解析:∵c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),∴a∥c.又a·b=-2×2+(-3)×0+1×4=0,∴a⊥b.答案:C2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,则l与α所成的角为( )A.30° B.60° C.120° D.150°3.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定解析:∵正方体棱长为a,A1M=AN=,∴=,=,∴=++=++=(1+)++(+)=+1.8\n又∵是平面B1BCC1的法向量,且·=(+1)·=0,∴⊥,∴MN∥平面B1BCC1.答案:B4.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE、SD所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.5.(2022·新乡模拟)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD将△ABD折起,使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上,若二面角CABD的大小为θ,则sinθ的值等于( )A. B.C. D.解析:由题意可求得BO=,OC=,AO=,8\n建立空间直角坐标系如图,则C,B,6.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若E、F分别是BC、DD1的中点,则B1到平面ABF的距离为( )A. B.C. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B1(1,1,0),F,E,B(1,1,1),∴=(0,1,0),=,=.∵·=·=0,∴⊥,又⊥,∴⊥平面ABF.8\n∵平面ABF的法向量为=,且1=(0,1,-1),∴B1到平面ABF的距离为d==.答案:D二、填空题7.(2022·海口模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角ABD1B1的大小为________.8.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是________.解析:如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),8\nC(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos〈,n〉===,∴〈,n〉=60°,∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.答案:30°三、解答题9.(2022·辽宁高考)如图,直三棱柱ABCA′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)求证:MN∥平面A′ACC′;(2)若二面角A′MNC为直二面角,求λ的值.(1)证明:连接AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,因此MN∥平面A′ACC′.(2)解:以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA′为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.设AA′=1,则AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1),所以M,N.设m=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,8\n由得令z1=λ,则m=(1,-1,λ).设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的一个法向量,由得,令z2=λ,则n=(-3,-1,λ).因为A′MNC为直二面角,所以m·n=0.即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=或λ=-(舍去).即所求λ的值为.10.(2022·西安模拟)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上,且=λ(1)求证:无论λ取何值,总有AM⊥PN;(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该角取最大值时的正切值.(3)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°,若存在,试确定点P的位置,若不存在,请说明理由.解:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,8\n则A1(0,0,1),B1(1,0,1),M,N,=λ=λ(1,0,0)=(λ,0,0),=+=(λ,0,1),=.(1)∵=,8\n8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:46:30
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文章作者:U-336598
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