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【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第九篇 第6讲 抛物线 理 湘教版

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第6讲抛物线A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(  ).A.B.1C.D.解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,知|AF|+|BF|=x1++x2+=3,∵p=,∴x1+x2=,∴线段AB的中点的横坐标为=.答案 C2.(2022·东北三校联考)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为(  ).A.2B.18C.2或18D.4或16解析 设P(x0,y0),则∴36=2p,即p2-20p+36=0,解得p=2或18.答案 C3.(2022·全国)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=(  ).A.B.C.-D.-解析 由得x2-5x+4=0,∴x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,∴cos∠AFB===-.故选D.答案 D4.(2022·山东)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x28\n=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(  ).A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y解析 ∵-=1的离心率为2,∴=2,即==4,∴=.x2=2py的焦点坐标为,-=1的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由题意,得=2,∴p=8.故C2:x2=16y,选D.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·巫溪模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为8,则a的值为________.解析 依题意,有F,直线l为y=x-,所以A,△OAF的面积为××=8.解得a=±16,依题意,只能取a=16.答案 166.(2022·陕西)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.解析 如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py.由题意A(2,-2)代入x2=-2py,得p=1,故x2=-2y.设B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=,故水面宽为2米.答案 2三、解答题(共25分)7.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;8\n(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.另一方面,由直线OA与l的距离d=,可得=,解得t=±1.因为-1∉,1∈,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.8.(13分)(2022·温州十校联考)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.(1)求a与b;(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过F2且与x轴垂直,动直线l2与y轴垂直,l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型.解 (1)由e===,得=.又由原点到直线y=x+2的距离等于椭圆短半轴的长,得b=,则a=.(2)法一 由c==1,得F1(-1,0),F2(1,0).设M(x,y),则P(1,y).由|MF1|=|MP|,得(x+1)2+y2=(x-1)2,即y2=-4x,所以所求的M的轨迹方程为y2=-4x,该曲线为抛物线.法二 因为点M在线段PF1的垂直平分线上,所以|MF1|=|MP|,即M到F1的距离等于M到l1的距离.此轨迹是以F1(-1,0)为焦点,l1:x=1为准线的抛物线,轨迹方程为y2=-4x.8\nB级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)8\n一、选择题(每小题5分,共10分)1.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||=(  ).A.9B.6C.4D.3解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由于抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),由++=0,可得x1+x2+x3=3,又由抛物线的定义可得||+||+||=x1+x2+x3+3=6.答案 B2.(2022·洛阳统考)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是(  ).A.B.C.2D.-1解析 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2022·北京)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为________.解析 直线l的方程为y=(x-1),即x=y+1,代入抛物线方程得y2-y-4=0,解得yA==2(yB<0,舍去),故△OAF的面积为×1×2=.答案 4.(2022·重庆)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|=________.解析 设过抛物线焦点的直线为y=k,联立得,整理得,k2x2-(k2+2)x8\n+k2=0,x1+x2=,x1x2=.|AB|=x1+x2+1=+1=,得,k2=24,代入k2x2-(k2+2)x+k2=0得,12x2-13x+3=0,解之得x1=,x2=,又|AF|<|BF|,故|AF|=x1+=.答案 三、解答题(共25分5.(12分)(2022·巫山质量评估)已知抛物线C:y2=4x,过点A(-1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点,设=λ.(1)若点P关于x轴的对称点为M,求证:直线MQ经过抛物线C的焦点F;(2)若λ∈,求|PQ|的最大值.思维启迪:(1)可利用向量共线证明直线MQ过F;(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值.(1)证明 设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1).∵=λ,∴x1+1=λ(x2+1),y1=λy2,∴y=λ2y,y=4x1,y=4x2,x1=λ2x2,∴λ2x2+1=λ(x2+1),λx2(λ-1)=λ-1,∵λ≠1,∴x2=,x1=λ,又F(1,0),∴=(1-x1,y1)=(1-λ,λy2)=λ=λ,∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)由(1)知x2=,x1=λ,得x1x2=1,y·y=16x1x2=16,∵y1y2>0,∴y1y2=4,则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=x+x+y+y-2(x1x2+y1y2)=2+4-128\n=2-16,λ∈,λ+∈,当λ+=,即λ=时,|PQ|2有最大值,|PQ|的最大值为.探究提高 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.6.(13分)(2022·新课标全国)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解 (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|.所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0,解得b=-.因为m的纵截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.8\n当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.综上,坐标原点到m,n距离的比值为3.8

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发布时间:2022-08-26 00:38:51 页数:8
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文章作者:U-336598

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