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【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第十二篇 第2讲 直接证明与间接证明 理 湘教版

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第2讲直接证明与间接证明A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·中山调研)设a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的(  ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若“a+b=1”,则4ab=4a(1-a)=-42+1≤1;若“4ab≤1”,取a=-4,b=1,a+b=-3,即“a+b=1”不成立;则“a+b=1”是“4ab≤1”的充分不必要条件.答案 A2.(2022·金华十校联考)对于平面α和共面的直线m,n,下列命题中真命题是(  ).A.若m⊥α,m⊥n,则n∥αB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊂α,n∥α,则m∥nD.若m,n与α所成的角相等,则m∥n解析 对于平面α和共面的直线m,n,真命题是“若m⊂α,n∥α,则m∥n”.答案 C3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(  ).A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0解析 因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,故选D.答案 D4.(2022·酉阳二模)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是(  ).A.②③B.①②③C.③D.③④⑤3\n解析 若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.用反证法证明命题“a,b∈N,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是________________________.解析 “至少有n个”的否定是“最多有n-1个”,故应假设a,b中没有一个能被5整除.答案 a,b中没有一个能被5整除6.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是________.解析 取a=2,b=1,得m<n.再用分析法证明:-<⇐<+⇐a<b+2·+a-b⇐2·>0,显然成立.答案 m<n三、解答题(共25分)7.(12分)若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.证明 ∵a,b,c∈(0,+∞),∴≥>0,≥>0,≥>0.又a,b,c是不全相等的正数,故上述三个不等式中等号不能同时成立.∴··>abc成立.上式两边同时取常用对数,得lg>lg(abc),3\n∴lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.8.(13分)(2022·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?(1)证明 假设数列{Sn}是等比数列,则S=S1S3,即a(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比q≠0矛盾,所以数列{Sn}不是等比数列.(2)解 当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;当q≠1时,{Sn}不是等差数列,否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q≠0矛盾.3\nB级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2022·漳州一模)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(  ).A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析 ∵a>0,b>0,c>0,∴++=++≥6,当且仅当a=b=c时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.答案 D2.(2022·滨州期末)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(  ).A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形解析 由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形.不妨令得那么,A2+B2+C2=,这与三角形内角和为π相矛盾.所以假设不成立,所以△A2B2C2是钝角三角形.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2022·株洲模拟)已知a,b,μ∈(0,+∞)且+=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.解析 ∵a,b∈(0,+∞)且+=1,∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=16,∴a+b的最小值为16.\n∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ,∴0<μ≤16.答案 (0,16]4.(2022·秀山一模改编)已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.x35689lgx2a-ba+c-11+a-b-c3(1-a-c)2(2a-b)试将错误的对数值加以改正________.解析 由2a-b=lg3,得lg9=2lg3=2(2a-b)从而lg3和lg9正确,假设lg5=a+c-1错误,则由得所以lg5=1-lg2=a+c.因此lg5=a+c-1错误,正确结论是lg5=a+c.答案 lg5=a+c三、解答题(共25分)5.(12分)已知f(x)=x2+ax+b.(1)求:f(1)+f(3)-2f(2);(2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.(1)解 ∵f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,f(3)=3a+b+9,∴f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)证明 假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于.则-<f(1)<,-<f(2)<,-<f(3)<,∴-1<-2f(2)<1,-1<f(1)+f(3)<1.∴-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2,这与f(1)+f(3)-2f(2)=2矛盾.∴假设错误,即所证结论成立.6.(13分)对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三条:①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数,求f(0)的值;(2)判断函数g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,并予以证明.解 (1)取x1=x2=0可得f(0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0,又由条件①得f(0)≥0,故f(0)=0.(2)显然g(x)=2x-1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0;也满足条件②g(1)=1.\n若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x2-1)(2x1-1)≥0,即满足条件③,故g(x)是理想函数.

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发布时间:2022-08-26 00:38:38 页数:6
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文章作者:U-336598

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