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【高考领航】2022高考数学总复习 6-6 直接证明与间接证明练习 苏教版
【高考领航】2022高考数学总复习 6-6 直接证明与间接证明练习 苏教版
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【高考领航】2022高考数学总复习6-6直接证明与间接证明练习苏教版【A组】一、填空题1.(2022·扬州模拟)已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为________.解析:由条件得cn=an-bn=-n=,∴cn随n的增大而减小.∴cn+1<cn.答案:cn+1<cn2.在平面直角坐标系xOy上,横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点.对任意n∈N*,连结原点O与点Pn(n,n-4),用g(n)表示线段OPn上除端点外的整点个数,则g(2008)=________.解析:当n=2008时,Pn(2008,2004),此时,线段OPn的方程为y=x,即为y=x;显然,当x=502,2×502,3×502时,得到的点都是整点.答案:33.设0<x<1,a>0,b>0,a,b为常数,+的最小值是________.解析:解法一:设x=cos2α,则1-x=sin2α,∴+=+=a2(1+tan2α)+b2(1+cot2α)=a2+b2+a2tan2α+b2cot2α≥a2+b2+2ab=(a+b)2.解法二:(x+1-x)=a2+++b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2.6\n答案:(a+b)24.(2022·苏州模拟)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是________.(填序号)解析:若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:③5.已知函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则+++=________.解析:由f(p+q)=f(p)f(q),令p=q=n,得f2(n)=f(2n).原式=+++=2f(1)+++.=8f(1)=24.答案:246.对于任意实数a,b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论:①对于任意实数a,b,c,有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②对于任意实数a,b,c,有a*(b*c)=(a*b)*c;③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是______.(写出你认为正确的结论的所有序号)解析:按新定义,可以验证a*(b+c)≠(a*b)+(a*c);所以①不成立;而a*(b*c)=(a*b)*c成立,a*0=(a+1)(0+1)-1=a.所以正确的结论是②③.答案:②③6\n7.已知函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对任意的x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|<,若用反证法证明该题,则反设应为________.解析:根据已知和反证法的要求,反设应为:存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,虽然|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,但|f(x1)-f(x2)|≥.答案:存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,虽然|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,但|f(x1)-f(x2)|≥二、解答题8.已知在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*),bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求当正整数m为何值时,Tn>对于任意n∈N*恒成立.解:由an+2-2an+1+an=0,可得an+2-an+1=an+1-an,所以数列{an}是一个等差数列,其首项a1=8,公差d==-2,所以an=8-2(n-1)=10-2n,所以bn===(-),所以Tn=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=,因为=,n∈N*,所以当n=1时,Tn取得最小值,欲使>,6\n对于任意n∈N*恒成立,只需<,解得m<3,又m∈N*,所以m=1,2.9.已知函数f(x)=log2(x+2),a,b,c是两两不相等的正数,且a,b,c成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论.解:f(a)+f(c)>2f(b).证明如下:因为a,b,c是不相等的正数,所以a+c>2.因为b2=ac,所以ac+2(a+c)>b2+4b.即ac+2(a+c)+4>b2+4b+4,从而(a+2)(c+2)>(b+2)2.因为f(x)=log2x是增函数,所以log2(a+2)(c+2)>log2(b+2)2,即log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2).故f(a)+f(c)>2f(b).【B组】一、填空题1.设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b大小关系为________.解析:∵a=lg2+lg5=lg10=1而b=ex<e0=1,故a>b.答案:a>b2.设a,b,c,d,m,n都是正数,P=+,Q=·,则P________Q.(填“≥”或“≤”)解析:∵+≥2,∴++ab+cd≥2+ab+cd,即Q2≥P2.∵P>0,Q>0,∴Q≥P.答案:≤3.用反证法证明:若a>0,b>0,a+b=1,则+≥4的反设为________.答案:+<46\n4.设Sn=+++…+(n∈N*),且Sn+1·Sn+2=,则n的值是________.解析:由=-得到Sn=+++…+=,Sn+1·Sn+2=·==,解得n=5.答案:55.设函数f(x)=|lgx|,若0<a<b<c,f(a)>f(c)>f(b),则ac与1的大小关系为________.解析:由题意画图象可得0<a<1<c.于是由|lga|>|lgc|,得-lga>lgc,即lgac<0,所以0<ac<1.答案:ac<16.若不等式1+++…+>(n∈N*)成立,则n的最小值是________.解析:由已知可转化为>,整理得2n>128,解得n>7,又因为n∈N*,故n的最小值为8.答案:87.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=________.解析:通过观察所给的结论可知,若f(x)是偶函数,则导函数g(x)是奇函数.答案:-g(x)二、解答题8.在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若+=,试问A,B,C是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出证明.解:A、B、C成等差数列.证明如下:∵+=,∴+=3.∴+=1,6\n∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),∴b2=a2+c2-ac.在△ABC中,由余弦定理,得cosB===,∵0°<B<180°,∴B=60°.∴A+C=2B=120°.∴A、B、C成等差数列.9.(2022·高考陕西卷)设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;解:(1)当b=1,c=-1,n≥2时,f(x)=xn+x-1.∵ff(1)=×1<0,∴f(x)在内存在零点.又当x∈时,f′(x)=nxn-1+1>0,∴f(x)在上是单调递增的,∴f(x)在内存在唯一零点.(2)由题意知即由图象知,b+3c在点(0,-2)取到最小值-6,在点(0,0)取到最大值0,∴b+3c的最小值为-6,最大值为0.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:04:21
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