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【创新设计】高考数学 第十二篇 第3讲 数学归纳法限时训练 新人教A版

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第3讲数学归纳法A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取(  ).A.7B.8C.9D.10解析 左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是8.答案 B2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是(  ).A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立解析 A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.答案 D3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(  ).A.B.-C.-D.+解析 ∵当n=k时,左侧=1-+-+…+-,当n=k+1时,左侧=1-+-+…+-+-.答案 C4.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:6\n(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立,则上述证法(  ).A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.解析 不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案 6.如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有n(n∈N*)行,在这些数中非1的数字之和是________________.11  11  2  11  3  3  11  4  6  4  1…解析 所有数字之和Sn=20+2+22+…+2n-1=2n-1,除掉1的和为2n-1-(2n-1)=2n-2n.答案 2n-2n6\n三、解答题(共25分)7.(12分)已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1+++…+>1+,则当n=k+1时,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.8.(13分)已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.(1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值;(2)求证:T12n=-4n(n∈N*).(1)解 a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.∵48+4r=64,∴r=4.(2)证明 用数学归纳法证明:当n∈N*时,T12n=-4n.①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立.②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,那么当n=k+1时,T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立.根据①和②可以断定:当n∈N*时,T12n=-4n.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上(  ).A.k2+16\nB.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2解析 ∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.答案 D2.(2022·广州一模)已知1+2×3+3×32+4+33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为(  ).A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a、b、c解析 ∵等式对一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3时等式成立,即整理得解得a=,b=c=.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________.解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1;4=1+3=2+2=3+1;5=1+4=2+3=3+2=4+1;…;一个整数n所拥有数对为(n-1)对.设1+2+3+…+(n-1)=60,∴=60,∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,∴第60个数对为(5,7).答案 (5,7)6\n4.已知数列{an}的通项公式an=(n∈N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值是________.解析 f(1)=1-a1=1-=,f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·=×==,f(3)=(1-a1)·(1-a2)(1-a3)=f(2)·=×=,由此猜想,f(n)=(n∈N*).答案 (n∈N*)三、解答题(共25分)5.(12分)设数列{an}满足a1=3,an+1=a-2nan+2,n=1,2,3,…(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);(2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn<2n成立的最小正整数n,并给出证明.解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.(2)Sn==n2+2n,使得Sn<2n成立的最小正整数n=6.下证:n≥6(n∈N*)时都有2n>n2+2n.①n=6时,26>62+2×6,即64>48成立;②假设n=k(k≥6,k∈N*)时,2k>k2+2k成立,那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1时,不等式成立;由①、②可得,对于所有的n≥6(n∈N*)都有2n>n2+2n成立.6.(13分)(2022·安徽)数列{xn}满足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*).(1)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0;(2)求c的取值范围,使{xn}是递增数列.(1)证明 先证充分性,若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c<xn,故{xn}是递减数列;再证必要性,若{xn}是递减数列,则由x2<x1可得c<0.(2)解 ①假设{xn}是递增数列.由x1=0,得x2=c,x3=-c2+2c.由x1<x2<x3,得0<c<1.由xn<xn+1=-x+xn+c知,对任意n≥1都有xn<,①注意到-xn+1=x-xn-c+=(1--xn)(-xn),②由①式和②式可得1--xn>0,即xn<1-.6\n由②式和xn≥0还可得,对任意n≥1都有-xn+1≤(1-)(-xn).③反复运用③式,得-xn≤(1-)n-1(-x1)<(1-)n-1,xn<1-和-xn<(1-)n-1两式相加,知2-1<(1-)n-1对任意n≥1成立.根据指数函数y=(1-)n的性质,得2-1≤0,c≤,故0<c≤.②若0<c≤,要证数列{xn}为递增数列,即xn+1-xn=-x+c>0,即证xn<对任意n≥1成立.下面用数学归纳法证明当0<c≤时,xn<对任意n≥1成立.(i)当n=1时,x1=0<≤,结论成立.(ii)假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即xn<.因为函数f(x)=-x2+x+c在区间内单调递增,所以xk+1=f(xk)<f()=,这就是说当n=k+1时,结论也成立.故xn<对任意n≥1成立.因此,xn+1=xn-x+c>xn,即{xn}是递增数列.由①②知,使得数列{xn}单调递增的c的范围是.特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.6

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发布时间:2022-08-26 00:36:13 页数:6
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文章作者:U-336598

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