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【创新设计】高考数学 第十篇 第3讲 二项式定理限时训练 新人教A版
【创新设计】高考数学 第十篇 第3讲 二项式定理限时训练 新人教A版
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第3讲二项式定理A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·蚌埠模拟)在24的展开式中,x的幂指数是整数的项共有( ).A.3项B.4项C.5项D.6项解析 Tr+1=C()24-rr=Cx12-,故当r=0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共5项.答案 C2.设n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为( ).A.-150B.150C.300D.-300解析 由已知条件4n-2n=240,解得n=4,Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rCx4-,令4-=1,得r=2,T3=150x.答案 B3.(2022·兰州模拟)已知8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是( ).A.28B.38C.1或38D.1或28解析 由题意知C·(-a)4=1120,解得a=±2,令x=1,得展开式各项系数和为(1-a)8=1或38.答案 C4.(2022·天津)在5的二项展开式中,x的系数为( ).A.10B.-10C.40D.-40解析 因为Tr+1=C(2x2)5-rr=C25-r·(-1)rx10-3r,所以10-3r=1,所以r3\n=3,所以x的系数为C25-3(-1)3=-40.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·湖北)18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示).解析 Tr+1=Cx18-rr=(-1)rCrx18-r,令18-r=15,解得r=2.所以所求系数为(-1)2·C2=17.答案 176.(2022·浙江)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________.解析 f(x)=x5=(1+x-1)5,它的通项为Tr+1=C(1+x)5-r·(-1)r,T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,∴a3=10.答案 10三、解答题(共25分)7.(12分)已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n;(2)求展开式中的常数项.解 (1)由题意,得C+C+C+…+C=256,即2n=256,解得n=8.(2)该二项展开式中的第r+1项为Tr+1=C()8-r·r=C·x,令=0,得r=2,此时,常数项为T3=C=28.8.(13分)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个一般规律:(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3∶4∶5,并证明你的结论.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 13\n第6行 1 6 15 20 15 6 1 … …解 (1)C=C+C.(2)1+2+22+…+2n=2n+1-1.(3)设C∶C∶C=3∶4∶5,由=,得=,即3n-7r+3=0.①由=,得=,即4n-9r-5=0.②解①②联立方程组,得n=62,r=27,即C∶C∶C=3∶4∶5.3B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)3\n一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知0<a<1,方程a|x|=|logax|的实根个数为n,且(x+1)n+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则a1=( ).A.-10B.9C.11D.-12解析 作出y=a|x|(a>0)与y=|logax|的大致图象如图所示,所以n=2.故(x+1)n+(x+1)11=(x+2-1)2+(x+2-1)11,所以a1=-2+C=-2+11=9.答案 B2.(2022·湖北)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a=( ).A.0B.1C.11D.12解析 512012+a=(13×4-1)2012+a被13整除余1+a,结合选项可得a=12时,512012+a能被13整除.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)3.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+…+a11)=________.解析 令x=-1,∴28=a0+a1+a2+…+a11+a12.令x=-3,∴0=a0-a1+a2-…-a11+a12∴28=2(a1+a3+…+a11),∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7.答案 74.(2022·浙江)设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是________.解析 由Tr+1=Cx6-rr=C(-a)rx6-r,得B=C(-a)4,A=C(-a)2,∵B=4A,a>0,∴a=2.答案 2三、解答题(共25分)5.(12分)已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.\n解 5的展开式的通项为Tr+1=C5-r·r=5-rCx,令20-5r=0,得r=4,故常数项T5=C×=16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n,由题意知2n=16,得n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)n展开式中系数最大的项是中间项T3,故有Ca4=54,解得a=±.6.(13分)已知n,(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解 (1)∵C+C=2C,∴n2-21n+98=0.∴n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C423=,T5的系数为C324=70,当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727=3432.(2)∵C+C+C=79,∴n2+n-156=0.∴n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大,∵12=12(1+4x)12,∴ ∴9.4≤k≤10.4,∴k=10.∴展开式中系数最大的项为T11,T11=C·2·210·x10=16896x10.特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:36:11
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文章作者:U-336598
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