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【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐 1.1.4函数的单调性与最值 文

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【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.1.4函数的单调性与最值文一、选择题1.(2022·宁夏月考)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是(  )A.y=logx       B.y=2x-1C.y=x2-D.y=-x3解析:观察四个选项,在(-1,1)内单调递增的只有函数y=2x-1且其在(-1,1)内也有零点.故选B.答案:B2.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是(  )A.B.C.D.解析:函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-2+的减区间为,∵e>1,∴函数f(x)的单调减区间为.答案:D3.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上(  )A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有惟一的实根解析:∵f(a)·f(b)<0且f(x)在[a,b]上单调,∴由数形结合,可以看出,必有惟一的实数x0,使f(x0)=0成立.答案:D4.函数f(x)(x∈R)的图象如下图所示,则函数g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是(  )A.B.(-∞,0)∪C.[,1]D.[,]解析:y=logax(0<a<1)为减函数,根据复合函数的单调性及图象知,当0≤logax≤,即≤x≤1时,g(x)为减函数,故其单调减区间为[,1].4\n答案:C5.已知函数f(x)=若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(  )A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3]D.(2,+∞)解析:要保证函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)=(a-2)x-1在区间(-∞,1]上单调递增,则a-2>0,即a>2.若f(x)=logax在区间(1,+∞)上单调递增,则a>1.另外,要保证函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增还必须满足(a-2)×1-1≤loga1=0,即a≤3.故实数a的取值范围为2<a≤3.答案:C6.(2022·辽宁模拟)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于(  )A.{x|x≤0或1≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}C.{x|x≤4}D.{x|0≤x≤1或x≥4}解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如图,由图可知当f(x)g(x)≥0时,x的取值范围是x≤0或1≤x≤4,即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x≤0或1≤x≤4},故选A.答案:A二、填空题7.已知y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若f(m-1)<f(1-2m),则m的取值范围是__________.解析:依题意,原不等式等价于⇒⇒-<m<.答案:8.已知下列四个命题:①若f(x)为减函数,则-f(x)为增函数;②若f(x)为增函数,则函数g(x)=在其定义域内为减函数;③若f(x)与g(x)均为(a,b)上的增函数,则f(x)·g(x)也是区间(a,b)上的增函数;④若f(x)与g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数,且g(x)≠0,则在(a,b)上是递增函数.其中正确命题的序号是__________.解析:①正确;②不正确,可用y=x(x≠0)说明,若f(x)恒大于零(或若f(x)恒小于零),则命题②成立;③不正确,可用y=x(x>0)与y=-(x>0)说明;④不正确,可用y=x(x>0)与y=-x(x>0)说明.4\n答案:①9.已知函数f(x)=若f(6-a2)>f(5a),则实数a的取值范围是__________.解析:当x≤2时,f1(x)=-x2+4x-10是单调递增函数;当x>2时,f2(x)=log3(x-1)-6也是单调递增函数,且f1(2)=-22+4×2-10=-6,f2(2)=log3(2-1)-6=-6,即f1(2)=f2(2),因此f(x)在R上单调递增,又因为f(6-a2)>f(5a),所以6-a2>5a,解得-6<a<1.答案:-6<a<1三、解答题10.已知函数f(x)=a-.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.解析:(1)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-,设0<x1<x2,则x1x2>0,x2-x1>0.f(x1)-f(x2)=-=-=<0.∴f(x1)<f(x2),即f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)由题意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,设h(x)=2x+,则a<h(x)在(1,+∞)上恒成立.可证h(x)在(1,+∞)上单调递增.故a≤h(1)即a≤3,∴a的取值范围为(-∞,3].11.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.解析:(1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,令x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a(2-2x2)+b(3-3),∵2<2,a>0⇒a(2-2)<0,3<3,b>0⇒b(3-3)<0,∴f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数.当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0,当a<0,b>0时,x>-,则x>log1.5;4\n当a>0,b<0时,x<-,则x<log1.5.12.设函数f(x)对任意的x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:函数f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3t2-t-2)<3.解析:(1)方法一:设x1,x2∈R且x1<x2,则Δx=x2-x1>0,∴f(Δx)>1,∴f(x2)=f(x1+Δx)=f(x1)+f(Δx)-1>f(x1),∴f(x)是R上的增函数.方法二:f(0)=f(0)+f(0)-1,∴f(0)=1.∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1.∴f(-x)=2-f(x),设x1,x2∈R且x1<x2,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)+2-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1>1.∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x)是R上的增函数,(2)f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴f(3t2-t-2)<3=f(2).又由(1)的结论知函数f(x)是R上的增函数.∴3t2-t-2<2,∴-1<t<.4

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发布时间:2022-08-26 00:23:37 页数:4
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文章作者:U-336598

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