【步步高】2022届高考数学一轮复习 2.2.2 直线与圆的位置关系备考练习 苏教版

2.2.2　直线与圆的位置关系一、基础过关1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是________．2．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为________．3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是______________．4．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________．5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．7．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．8．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点．二、能力提升9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有________个．11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为____________________．12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．三、探究与拓展13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．-3-\n答案1．相交2．y＝2x3．(x－2)2＋(y－1)2＝14．25．46．(x－3)2＋y2＝47．解　设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.8．解　假设存在且设l为：y＝x＋m，圆C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．解方程组得AB的中点N的坐标N(－，)，由于以AB为直径的圆过原点，所以AN＝ON.又AN＝＝，ON＝.所以9－＝2＋2，解得m＝1或m＝－4.所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的．9.10．311．x2＋y2＝412．解　(1)如图，连结PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－x)．圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，-3-\n所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××AP×AC＝AP.因为AP2＝PC2－CA2＝PC2－1，所以当PC2最小时，AP最小．因为PC2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝(x＋1)2＋9.所以当x＝－时，PC＝9.所以APmin＝＝2.即四边形PACB面积的最小值为2.(2)假设直线上存在点P满足题意．因为∠APB＝60°，AC＝1，所以PC＝2.设P(x，y)，则有整理可得25x2＋40x＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．13．(1)证明　∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．∴l过的交点M(3,1)．又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝＝<5，∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．(2)解　∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.∴弦长AB的最小值|AB|min＝4.此时，kCM＝－，kl＝－.∵l⊥CM，∴·＝－1，解得m＝－.∴当m＝－时，取到的最短弦长为4.-3-