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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题2 不等式与线性规划 第7练 基本初等函数问题

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第7练基本初等函数问题题型一指数函数的图象和性质例1已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________.破题切入点判断函数t=|2x-m|的单调区间,结合函数y=2t的单调性,得m的不等式,求解即可.答案(-∞,4]mm解析令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间[,+∞)上单调递增,在区间(-∞,]上单调22递减.而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有m≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].故填(-∞,4].2题型二对数函数的图象和性质1例2已知f(x)=logax(a>0且a≠1),如果对于任意的x∈[,2]都有|f(x)|≤1成立,则a的取值3范围是________.破题切入点要对字母a进行分类讨论.1答案(0,]∪[3,+∞)3解析∵f(x)=logax,1当0<a<1时,|f()|-|f(2)|31=loga+loga232=loga>0,31当a>1时,|f()|-|f(2)|31=-loga-loga232=-loga>0,31∴|f()|>|f(2)|总成立.31要使x∈[,2]时恒有|f(x)|≤1,311只需|f()|≤1,即-1≤loga≤1,331即logaa-1≤loga≤logaa,3-1-\n1亦当a>1时,得a-1≤≤a,即a≥3;31当0<a<1时,得a-1≥≥a,31得0<a≤.31综上所述,a的取值范围是(0,]∪[3,+∞).3题型三幂函数的图象和性质例3已知周期函数f(x)的定义域为R,周期为2,且当-1<x≤1时,f(x)=1-x2.若直线y=-x+a与曲线y=f(x)恰有2个交点,则实数a的所有可能取值构成的集合为________________________.破题切入点画出函数f(x)的草图,对参数a取特殊值,验证是否满足题设条件.5答案{a|a=2k+1或2k+,k∈Z}4解析画出函数f(x)的草图,当a=1时,如图所示,直线y=-x+1与曲线y=f(x)恰有2个交点;55当a=时,直线y=-x+与曲线y=f(x)恰有2个交点,如图所示,根据函数的周期性.44总结提高(1)指数函数、对数函数、幂函数是高中数学重要的基本初等函数,考查形式主要是客观题,也有可能以解答题中某一小问的形式出现.考查重点主要有三个:一是考查指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质,二是考查指数式与对数式的运算,三是考查交汇性问题.(2)解决好本部分问题需要注意以下三点:①理清定义:掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念,并注意指数函数与幂函数的区别.②心中有图:掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质,并能灵活运用函数图象和性质解题.③把握交汇:把握指数函数、对数函数、幂函数与其他知识交汇的特点,在综合应用中强化对这三种函数的理解.1.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有________.答案0<a<1且b<0解析(1)当0<a<1时,不论上下怎样平移,图象必过第二象限;当a>1时,不论上下怎样平移,图象必过第一象限.∵y=ax+b-1的图象经过第二、三、四象限,∴只可能0<a<1.-2-\n(2)如图,这个图可理解为y=ax(0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度.b-1<0,∴解得b<0.|b-1|>1,由(1)、(2)可知0<a<1且b<0.2.(2022·课标全国Ⅱ改编)设a=log36,b=log510,c=log714,则a,b,c的大小顺序为________.答案a>b>c11解析因为a=log36=1+log32=1+,b=log510=1+log52=1+,c=log714=1log23log251+log72=1+,显然a>b>c.log273.若函数f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=________.2答案4解析∵0<a<1,∴f(x)=logax在[a,2a]上为减函数,∴f(x)max=logaa=1,f(x)min=loga2a=1+loga2,∴1=3(1+loga2),22即loga2=-,∴a=.344.函数f(x)=1-2log6x的定义域为________.答案(0,6]解析要使函数f(x)=1-2log6x有意义,x>0,则解得0<x≤6.1-2log6x≥0.5.“lgx,lgy,lgz成等差数列”是“y2=xz成立”的________条件.答案充分不必要解析由lgx,lgy,lgz成等差数列,可以得出2lgy=lgx+lgz,根据对数函数的基本运算可得,y2=xz,但反之,若y2=xz,并不能保证x,y,z均为正数,所以不能得出lgx,lgy,lgz成等差数列.6.已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=________.答案2解析∵f(x)=lgx,∴f(a2)+f(b2)=2lga+2lgb=2lgab.又f(ab)=1,∴lgab=1,∴f(a2)+f(b2)=2.7.已知0<a<1,则函数f(x)=ax-|logax|的零点个数为________.答案2-3-\n解析分别画出函数y=ax(0<a<1)与y=|logax|(0<a<1)的图象,如图所示,图象有两个交点.18.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则实数m的取值范围是________.答案[-1,0)解析由题意得,121-x+m,x≤1函数y=1.2x-1+m,x>1121-x,x≤1首先作出函数y=1的图象,如图所示.2x-1,x>1121-x+m,x≤1由图象可知要使函数y=1的图象与x轴有公共点,则m∈[-1,0).2x-1+m,x>119.已知函数f(x)=5x-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0<x1<x0,则f(x1)与0的大小关系为________.答案f(x1)>01解析当x>0时,f(x)=()x-log3x是减函数,5又x0是方程f(x)=0的根,即f(x0)=0.∴当0<x1<x0时,f(x1)>f(x0)=0.10.(2022·南京模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=ln(ex+ey),x,y∈R.当x*x=y时,*x=y.对任意实数a,b,c,给出如下命题:①a*b=b*a;②(a*b)+c=(a+c)*(b+c);③(a*b)-c=(a-c)*(b-c);④(a*b)*c=a*(b*c);*a+b⑤a*b≥.2-4-\n其中正确的命题有________.(写出所有正确的命题序号)答案①②③④⑤解析因为a*b=ln(ea+eb),b*a=ln(eb+ea),所以a*b=b*a,即①对;因为(a*b)+c=ln(ea+eb)+c=ln[(ea+eb)ec]=ln(ea+c+eb+c)=(a+c)*(b+c),所以②对;只需令②中的c为-c,即有结论(a*b)-c=(a-c)*(b-c),所以③对;abln(ee)因为(a*b)*c=[ln(ea+eb)]*c=ln[e+ec]=ln(ea+eb+ec),bcln(ee)a*(b*c)=a*[ln(eb+ec)]=ln[ea+e]=ln(ea+eb+ec),所以(a*b)*c=a*(b*c),即④对;*设a*b=x,则x*x=a*b,所以ln(ex+ex)=ln(ea+eb),所以2×ex=ea+eb,ea+eb*ea+eb2ea·eba+b所以x=ln,即a*b=ln≥ln=,故⑤对.2222故正确的命题是①②③④⑤.11.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.解(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以,函数f(x)的零点为3和-1.(2)依题意,方程ax2+bx+b-1=0有两个不同实根.所以,b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4(4a)<0⇒a2-a<0,所以0<a<1.因此实数a的取值范围是(0,1).12.(2022·盐城模拟)设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的最大值.解(1)因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0.因为f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn,所以f′(1)=-a.又因为切线x+y=1的斜率为-1,所以-a=-1,即a=1.故a=1,b=0.(2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1,n-xf′(x)=(n+1)xn-1n+1.-5-\nn令f′(x)=0,解得x=,n+1n0,在n+1上,f′(x)>0,故f(x)单调递增;n,+∞而在n+1上,f′(x)<0,故f(x)单调递减.故f(x)在(0,+∞)上的最大值为nnn1-nnfn+1=n+1n·n+1=.n+1n+1-6-

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发布时间:2022-08-26 00:16:20 页数:6
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文章作者:U-336598

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