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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题6 立体几何 第26练 立体几何中的计算问题

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第26练 立体几何中的计算问题题型一 立体几何中的表面积、体积计算例1 已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则三棱锥S—ABC的体积为________.破题切入点 作出图形,可知三棱锥S-ABC的体积是两个三棱锥之和,通过三角形的边角关系,计算可得所求.答案 解析 如图,过A作AD垂直SC于D,连结BD.由于SC是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90°,又∠ASC=∠BSC=30°,又SC为公共边,所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以VS—ABC=VS—ABD+VC—ABD=S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=2,由于AD==.同理在Rt△BSC中也有BD==.又AB=,所以△ABD为正三角形,所以VS—ABC=S△ABD·SC=××()2·sin60°×4=.题型二 立体几何中的长度、距离的计算例2 已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为________.破题切入点 作出图形,关键是找到球心的位置.答案 -7-\n解析 如图,作PM⊥面ABC,设PA=a,则AB=a,CM=a,PM=a.设球的半径为R,所以2+2=R2,将R=代入上式,解得a=2,所以d=-=.总结提高 (1)立体几何中有关表面积体积的计算首先要熟悉几何体的特征,其次运用好公式,作好辅助线等.(2)立体几何中有关长度和距离的求解要准确灵活转化,计算距离时要注意垂直距离如何找到,有时利用等体积的方法.1.(2022·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为________.答案 解析 如图,设球心为O,半径为r,则Rt△AOF中,(4-r)2+()2=r2,解得r=,所以,该球的表面积为4πr2=4π×()2=π.2.(2022·福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为________.答案 2π解析 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r=1,高h=1,所以侧面积S=2πrh=2π.3.(2022·辽宁改编)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为________.答案 解析 因为AB⊥AC,且AA1⊥底面ABC,将直三棱柱补成内接于球的长方体,则长方体的对角线l==2R,R=.-7-\n4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.答案 π解析 侧面展开图扇形的半径为2,圆锥底面半径为1,∴h==,∴V=π×1×=π.5.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为________.答案 平行解析 取PD的中点F,连结EF,在△PCD中,EF綊CD.又∵AB∥CD且CD=2AB,∴EF綊AB,∴四边形ABEF是平行四边形,∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.6.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和球O2的表面积之和的最小值为________.答案 (6-3)π解析 设球O1,O2的半径分别为r1,r2,由题意知O1A+O1O2+O2C1=,而O1A=r1,O1O2=r1+r2,O2C1=r2,∵r1+r1+r2+r2=.∴r1+r2=,从而S1+S2=4πr+4πr=4π(r+r)≥4π·=(6-3)π.-7-\n7.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为______.答案 解析 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,∴AC=2.又E为AD的中点,EF∥平面AB1C,EF⊂平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F为DC的中点,∴EF=AC=.8.(2022·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是________.答案 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2,由=,得=,则=.由圆柱的侧面积相等,得2πr1h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2,所以===.9.已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________.答案 3π解析 如图,构造正方体ANDM—FBEC.因为三棱锥A—BCD的所有棱长都为,所以正方体ANDM—FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥A—BCD的外接球就是正方体ANDM—FBEC的外接球,所以三棱锥A—BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为S球=4π2=3π.10.(2022·安徽)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).-7-\n①当0<CQ<时,S为四边形;②当CQ=时,S为等腰梯形;③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;④当<CQ<1时,S为六边形;⑤当CQ=1时,S的面积为.答案 ①②③⑤解析 ①当0<CQ<时,如图(1).在平面AA1D1D内,作AE∥PQ,显然E在棱DD1上,连结EQ,则S是四边形APQE.②当CQ=时,如图(2).显然PQ∥BC1∥AD1,连结D1Q,则S是等腰梯形.③当CQ=时,如图(3).作BF∥PQ交CC1的延长线于点F,则C1F=.作AE∥BF,交DD1的延长线于点E,D1E=,AE∥PQ,连结EQ交C1D1于点R,∵Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,∴C1R=.-7-\n④当<CQ<1时,如图(3),连结RM(点M为AE与A1D1交点),显然S为五边形APQRM.⑤当CQ=1时,如图(4).同③可作AE∥PQ交DD1的延长线于点E,交A1D1于点M,显然点M为A1D1的中点,∴S为菱形APQM,其面积为MP×AQ=××=.11.已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其内部有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积;(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?解 (1)作圆锥的轴截面,如图所示.设内接圆柱的半径为r.因为=,所以r=R-x,所以S圆柱侧=2πrx=2πRx-x2(0<x<H).(2)因为-<0,所以当x==时,S圆柱侧最大.故当x=,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大.-7-\n12.(2022·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1,又因为AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明 取AB的中点G,连结EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解 因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB==.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×××1×2=.-7-

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发布时间:2022-08-26 00:16:17 页数:7
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文章作者:U-336598

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