【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题7 解析几何 第32练 与抛物线相关的热点问题
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第32练 与抛物线相关的热点问题题型一 抛物线的定义及其应用例1 设P是抛物线y2=4x上的一动点,(1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),抛物线的焦点为F,求PB+PF的最小值.破题切入点 画出图形,结合抛物线的定义,转化为共线问题.解 (1)由于A(-1,1),F(1,0),P是抛物线上的任意一点,则AP+PF≥AF==,从而知点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为,所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示,自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q,交抛物线于点P1,此时P1Q=P1F,那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4,即PB+PF的最小值为4.题型二 抛物线的标准方程及性质例2 (1)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是________.(2)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽________m.破题切入点 准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答.答案 (1)(2,+∞) (2)2解析 (1)∵x2=8y,∴焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知FM=y0+2.以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故4<y0+2,∴y0>2.(2)建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),-7-\n则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py得p=1.∴x2=-2y.水位下降1m,得D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入x2=-2y,得x=6,∴x0=.∴水面宽CD=2m.题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.破题切入点 (1)将点代入易求方程.(2)假设存在,根据条件求出,注意验证.解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由直线OA到l的距离d=,可得=,解得t=±1.又因为-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞),所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.总结提高 (1)抛物线没有中心,只有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴且离心率为e=1,所以与椭圆、双曲线相比,它有许多特殊性质,可以借助几何知识来解决.(2)抛物线的标准方程有四种形式,要掌握抛物线的方程与图形的对应关系,将抛物线y2=2px关于y轴、直线x+y=0与x-y=0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线y2=2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式,这是它们的内在联系.(3)抛物线的焦点弦:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则①y1y2=-p2,x1x2=;②若直线AB的倾斜角为θ,则AB=;③若F为抛物线焦点,则有+=.-7-\n1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为________.答案 4或-4解析 设标准方程为x2=-2py(p>0),由定义知P到准线的距离为4,故+2=4,所以p=4,则方程为x2=-8y,代入P点坐标得m=±4.2.若抛物线y2=8x的焦点是F,准线是l,则经过点F,M(3,3)且与l相切的圆共有________个.答案 1解析 由题意得F(2,0),l:x=-2,线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-),即x+3y-7=0,设圆的圆心坐标为(a,b),则圆心在x+3y-7=0上,故a+3b-7=0,a=7-3b,由题意得|a-(-2)|=,即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0.又b>0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个.3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P、Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是________.答案 2±解析 依题意得F(,0),设P(,y1),Q(,y2)(y1≠y2).由抛物线定义及PF=QF,得+=+,∴y=y,∴y1=-y2.又PQ=2,因此|y1|=|y2|=1,点P(,y1).又点P位于该抛物线上,于是由抛物线的定义得PF=+=2,由此解得p=2±.4.(2022·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________.答案 解析 由已知得焦点坐标为F(,0),因此直线AB的方程为y=(x-),即4x-4y-3=0.方法一 联立抛物线方程化简得4y2-12y-9=0,故|yA-yB|==6.因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=.方法二 联立方程得x2-x+=0,-7-\n故xA+xB=.根据抛物线的定义有AB=xA+xB+p=+=12,同时原点到直线AB的距离为h==,因此S△OAB=AB·h=.5.已知抛物线y2=8x的准线为l,点Q在圆C:x2+y2+2x-8y+13=0上,记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d+PQ的最小值为________.答案 3解析 如图所示,由题意,知抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),连结PF,则d=PF.圆C的方程配方,得(x+1)2+(y-4)2=4,圆心为C(-1,4),半径r=2.d+PQ=PF+PQ,显然,PF+PQ≥FQ(当且仅当F,P,Q三点共线时取等号).而FQ为圆C上的动点Q到定点F的距离,显然当F,Q,C三点共线时取得最小值,最小值为CF-r=-2=5-2=3.6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若AF=3,则△AOB的面积为______.答案 解析 如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又AF=3,由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,∴点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标y=2,∴A(2,2),-7-\n∴直线AF的方程为y=2(x-1).联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B,∴S△AOB=OF·|yA-yB|=×1×|2+|=.7.过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若AB=,AF<BF,则AF=________.答案 解析 ∵+==2,AB=AF+BF=,AF<BF,∴AF=,BF=.8.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若FQ=2,则直线l的斜率为________.答案 ±1解析 设直线l的斜率等于k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l为y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x联立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则有x1x2=1,x1+x2=-2,因此可得Q(-1,),因F(1,0),由FQ=2,则有(-2)2+()2=4,解得k2=1,所以k=±1.9.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°.则△OAF的面积为________.答案 解析 由题意,得直线AB方程为y=(x-1),与抛物线方程y2=4x联立,求得交点A的坐标为(3,2),利用三角形面积公式即可求得S△OAF=×1×2=.10.(2022·江西)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A、B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.答案 6解析 因为△ABF为等边三角形,-7-\n所以由题意知B,代入方程-=1得p=6.11.(2022·大纲全国)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且QF=PQ.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以PQ=,QF=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x,得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故设AB的中点为D(2m2+1,2m),AB=|y1-y2|=4(m2+1).又l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故设MN的中点为E(+2m2+3,-),MN=|y3-y4|=,由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于AE=BE=MN,从而AB2+DE2=MN2,即4(m2+1)2+(+2)2+(2m+)2=,-7-\n化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.12.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解 (1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:-x=1(x>0).化简得y2=4x(x>0).(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m,由得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,于是①又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),·<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②又x=,于是不等式②等价于·+y1y2-+1<0⇔+y1y2-+1<0.③由①式,不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-2<m<3+2.由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0,且m的取值范围是(3-2,3+2).-7-
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