【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题7 不等式(含解析)北师大版
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阶段性测试题七(不等式)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(文)已知a,b为非零实数且a<b,则下列命题成立的是( )A.a2<b2 B.ab2>a2bC.<D.<[答案] C[解析] 若a<b<0,可得a2>b2,知A不成立.若,可得a2b>ab2,知B不成立.若a=1,b=2,则=2,=有>,知D不成立,故选C.(理)设x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件,解一元二次不等式的知识.由2x2+x-1>0得(x+1)(2x-1)>0,即x<-1或x>,又因为x>⇒2x2+x-1>0,而2x2+x-1>0⇒/x>,选A.2.(2022·邵阳模拟)已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式,正确的是( )A.log2a>0B.2a-b<C.2+<D.log2a+log2b<-2[答案] D[解析] 当a=,b=时,选项A不成立;对于选项B,a-b=-,2a-b=2-=()>()1=,选项B错误;对于选项C,+=3+,2+=23+>2>,选项C错误,故选D.3.小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )A.a<v<B.v=-8-\nC.<v<D.v=[答案] A[解析] 设从甲地到乙地的全程为s,则v==∵0<a<b,∴a+b<2b,a+b>2,所以<<,则a<<,即a<v<.故选A.4.不等式x2-3x-10≥0的解集是( )A.(-∞,-2]∪[5,+∞)B.[-2,5]C.(-∞,+∞)D.∅[答案] A[解析] 因为根据一元二次不等式的解法,结合二次函数的图像及根的大小,可知x2-3x-10≥0⇔(x-5)(x+2)≥0⇔x≥5或⇔x≤-2,可知不等式x2-3x-10≥0的解集是(-∞,-2]∪[5,+∞).故答案为A.5.已知x,y满足线性约束条件则的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[2,+∞)C.[1,2]D.(-∞,+∞)[答案] A[解析] 作出不等组表示的可行域,可知k=,表示可行域内的点与P(0,-1),连线的斜率,所以k≥kPC=1,故选A.6.(2022·温州一模)不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图像为图中的( )-8-\n[答案] B[解析] ∵ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},∴a<0且-2,1为方程ax2-x-c=0的两根.∴,∴.∴f(x)=-x2-x+2,∴f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2).故选B.7.(2022·北京高考)若x、y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为( )A.2B.-2C.D.-[答案] D[解析] 如图,作出所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k==-.故选D.8.某企业投入100万元购入一套设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业( )年后需要更新设备.( )A.10B.11C.13D.21[答案] A[解析] 由题意可知x年的维护费用为2+4+…+2x=x(x+1),所以x年平均维护费用为y==x++1.5,由均值不等式得y=x++1.5≥2+1.5=21.5,当且仅当x=,即x=10时取等号,所以选A.9.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上满足f′(x)>0,则满足f(x2-2x)<f(x)的x的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-∞,-3)∪(3,+∞)-8-\nC.(-3,3)D.(1,3)[答案] D[解析] 因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上满足f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减,所以由f(x2-2x)<f(x)可得|x2-2x|<|x|,解得1<x<3,所以满足f(x2-2x)<f(x)的x的取值范围是(1,3).10.若函数f(x)=,若af(-a)>0,则实数a的取值范围是( )A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)[答案] A[解析] 若a>0,则由af(-a)>0得,aa>0,解得0<a<1.若a<0,则由af(-a)>0得,alog2(-a)>0,即log2(-a)<0解得0<-a<1,所以-1<a<0.综上0<a<1或-1<a<0,选A.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上)11.若关于x的不等式m(x-1)>x2-x的解集为{x|1<x<2},则实数m的值为________.[答案] 2[解析] 解法1:由m(x-1)>x2-x整理得(x-1)(m-x)>0,即(x-1)(x-m)<0,又m(x-1)>x2-x的解集为{x|1<x<2},所以m=2.解法2:由条件知,x=2是方程m(x-1)=x2-x的根,∴m=2.12.(文)(2022·湖南高考)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为________.[答案] 7 [解析] 本题考查了简单线性规划最优解问题.可行域如图,要使z=2x+y最大,则该直线过点A,而点A的坐标由可得,A(3,1),∴zmax=2×3+1=7.(理)(2022·湖南高考)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最小值为-6,则k=________.[答案] -2[解析] 本题考查线性规划中参数的求值问题.求出约束条件中三条直线的交点为(k,k),(4-k,k),(2,2),且y≤x,x+y≤4的可行域如图,所以k≤2,要使z=2x+y最小,该直线过点A(k,k),∴3k=-6⇒k=-2,故填-2.-8-\n13.已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y都是正实数,若a⊥b,则t=x+2y的最小值是________.[答案] 4[解析] 因为a⊥b,所以a·b=(x,-2)·(y,1)=0,即xy=2,又t=x+2y≥2=4,所以t=x+2y的最小值是4.14.若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为________.[答案] (-∞,0][解析] ∵4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,∴4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值为0.∴a的取值范围为(-∞,0].15.已知函数f(x)与g(x)的图像关于直线x=2对称,若f(x)=4x-15,则不等式≥0的解集是________.[答案] (-∞,-1)∪[,1)[解析] 若f(x)=4x-15,则g(x)=f(4-x)=4(4-x)-15=1-4x,故不等式≥0等价于≥0,即(x-1)(x+1)(4x-1)≤0(x≠1且x≠-1),解得x<-1或≤x<1.三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值;(2)若不等式的解集为∅,求k的取值范围.[解析] (1)∵不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}.∴k<0且x1=-3,x2=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根.∴x1x2=6,x1+x2=-5.∴k=-.(2)由于k≠0,要使不等式解集为∅,只需,即,解得k≥.-8-\n即k的取值范围是k≥.17.(本小题满分12分)已知a>0且a≠1,关于x的不等式ax>1的解集是{x|x>0},解关于x的不等式loga(x-)<0的解集.[解析] 因为关于x的不等式ax>1的解集是{x|x>0},所以a>1,故loga(x-)<0⇔⇔-1<x<或1<x<,∴原不等式的解集是(-1,)∪(1,).18.(本小题满分12分)已知向量a=(x,m),b=(1-x,x),其中m∈R.若f(x)=a·B.(1)当m=3时解不等式f(x)<x;(2)如果f(x)在(-2,+∞)上单调递减,求实数m的取值范围.[解析] 由于a=(x,m),b=(1-x,x),所以f(x)=a·b=-x2+(m+1)x.(1)当m=3时,f(x)=-x2+4x,不等式f(x)<x,即-x2+4x<x,解得x>3或x<0,所以m=3时,不等式f(x)<x的解集为(-∞,0)∪(3,+∞).(2)如果f(x)=-x2+(m+1)x在(-2,+∞)上单调递减,则有≤-2,解得m≤-5,所以实数m的取值范围是m≤-5.19.(本小题满分12分)已知α,β是三次函数f(x)=x3+ax2+2bx(a,b∈R)的两个极值点,且α∈(0,1),β∈(1,2),求动点(a,b)所在的区域面积S.[解析] 由函数f(x)=x3+ax2+2bx(a,b∈R)可得,f′(x)=x2+ax+2b,由题意知,α,β是方程x2+ax+2b=0的两个根,且α∈(0,1),β∈(1,2),因此得到可行域,即,画出可行域如图,所以S=.20.(本小题满分13分)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.(1)求f(0);-8-\n(2)求f(x);(3)当0<x<2时不等式f(x)>ax-5恒成立,求a的取值范围.[解析] (1)令x=1,y=0,得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,∴f(0)=f(1)-2=-2.(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x2+x,∴f(x)=x2+x-2.(3)f(x)>ax-5化为x2+x-2>ax-5,ax<x2+x+3,∵x∈(0,2),∴a<=1+x+.当x∈(0,2)时,1+x+≥1+2,当且仅当x=,即x=时取等号,由∈(0,2),得(1+x+)min=1+2.∴a<1+2.21.(本小题满分14分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.[分析] (1)由题意设出未知量,构造函数关系式,变形转化利用基本不等式求最值,得出结论;(2)先由限制条件确定x的范围,然后判断(1)中函数的单调性,利用单调性求最值,得出结论.[解析] (1)设污水处理池的宽为x(x>0)m,则长为m.则总造价f(x)=400×+248×2x+80×162=1296x++12960=1296+12960(x>0)≥1296×2+12960=38880(元),当且仅当x=(x>0),即x=10时取等号.∴当长为16.2m,宽为10m时总造价最低,最低总造价为38880元.(2)由限制条件知,-8-\n∴10≤x≤16.设g(x)=x+(10≤x≤16),由函数性质易知g(x)在上是增函数,∴当x=10时(此时=16),g(x)有最小值,即f(x)有最小值1296×(10+)+12960=38882(元).∴当长为16m,宽为10m时,总造价最低,为38882元.-8-
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