【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题10 统计、统计案例（含解析）北师大版

阶段性测试题十(统计、统计案例)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题　共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·潍坊联考)某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x＋y的值为(　　)甲乙9　778　y5　0　x81　1　0192A．6　　　　　　　　　B．7C．8D．9[答案]　D[解析]　由众数的定义知x＝5，由乙班的平均分为81得＝81，解得y＝4，故x＋y＝9.2．(文)若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这M＋N个数的平均数是(　　)A．B．C．D．[答案]　C[解析]　该题考查平均数的概念及运算．共有M＋N个数，这M＋N个数的和为(MX＋NY)，故这M＋N个数的平均数为.(理)期中考试后，班长算出了全班40名同学的数学成绩的平均分为M.如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么MN为(　　)A．4041B．11C．4140D．21[答案]　B[解析]　设40个人的成绩依次为a1，a2，…，a40，则M＝.当把该平均分M当成一个人的分数时，41个分数的平均值为N＝＝＝M，故MN＝11.3．某班78名同学已编号1,2，…，78，为了了解该班同学的作业情况，老师收取了编号能被5整除的15名同学的作业，这里运用的抽样方法是(　　)-11-\nA．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．抽签法[答案]　B[解析]　由抽样方法知，应选B．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入[3000,3500)(元)段中抽取了30人，则这20000人中共抽取的人数为(　　)A．200B．100C．20000D．40[答案]　A[解析]　由题意得，月收入在[3000,3500)(元)段中的频率是0.0003×500＝0.15，该收入段的人数是20000×0.15＝3000(人)，从中抽取了30人，说明从每100人中抽取1个，故共抽取＝200(人)．5．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578其中一定不正确的结论的序号是(　　)A．①②　　　　　　　B．②③C．③④D．①④[答案]　D[解析]　若y与x负相关，则＝bx＋a中b<0，故①不正确，②正确；若y与x正相关，则＝bx＋a中b>0，故③正确，④不正确；故选D．6．(2022·广东高考)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)A．50B．40C．25D．20[答案]　C[解析]　本题考查系统抽样．-11-\n从1000名学生中抽取40名，分成40组，每组25人，间隔为25.选C．系统抽样又叫等距抽样．7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程＝0.67x＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为(　　)零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189A．75B．62C．68D．81[答案]　C[解析]　设表中模糊看不清的数据为m，由表中数据得：＝30，＝，由于由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9，将＝30，＝代入回归直线方程，得m＝68，故选C．8．(2022·安徽示范高中联考)给出下列五个命题：①将A、B、C三种个体按312的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y＝1－2x，则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为(　　)A．①②④B．②④⑤C．②③④D．③④⑤[答案]　B[解析]　①样本容量为9÷＝18，①是假命题；②数据1,2,3,34,5的平均数为(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③乙＝＝7，s＝[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s>s，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为＝0.4，⑤是真命题．9．(文)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图如图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：87　794　0　1　0　x　9　1-11-\n则7个剩余分数的方差为(　　)A．B．C．36D．[答案]　B[解析]　去掉最高最低分后的数据为87,90,90,91,91,94,90＋x，由＝91＝得x＝4，则方差s2＝[(87－91)2＋(90－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2＋(94－91)2]＝.(理)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是(　　)A．70,25B．70,50C．70,1.04D．65,25[答案]　B[解析]　易得没有改变，＝70，而s2＝[(x＋x＋…＋502＋1002＋…＋x)－482]＝75，s′2＝[(x＋x＋…802＋702＋…＋x)－482]＝[(75×48＋482－12500＋11300)－482]＝75－＝75－25＝50.10．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分(如图)，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)上的数据个数可能是(　　)A．7和6B．6和9C．8和9D．9和10[答案]　B[解析]　因样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24.又因为样本中数据在[20,40)上的频数为4＋5＝9，所以样本在[40,60)上的数据的个数为30×0.5＝15.第Ⅱ卷(非选择题　共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．(文)(2022·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.[答案]　1800[解析]　本题考查分层抽样．-11-\n设乙厂生产的总数为n件，则＝，解得n＝1800.(理)(2022·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556，则应从一年级本科生中抽取________名学生．[答案]　60[解析]　本题考查分层抽样．∵人数比4556，设每份为x，则4x＋5x＋5x＋6x＝20x＝300，∴x＝15，∴一年级抽15×4＝60人．12．今年3月份，某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神？”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽30份，则在D单位抽取的问卷是________份．[答案]　60[解析]　因为在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，所以从A、B、C、D按单位分层抽取的容量也成等差数列，设公差为d，则(30－d)＋30＋(30＋d)＋(30＋2d)＝150，所以d＝15，所以在D单位抽取的问卷是30＋2d＝60份．13．我校高三(4)班共有56人，学生编号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容易为4的样本，已知编号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为________．[答案]　20[解析]　系统抽样也是等距抽样，因为第三、第四两段中抽取的编号之差为14，所以第二段中抽取的编号与第一段中抽取的编号之差也为14，所以还有一位同学的编号应为20.14.(2022·银川第一次质检)如图是甲、乙两名篮球运动员2022年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________.甲乙712　62　823　1　96　4　531　2[答案]　54[解析]　甲得分为：17,22,28,34,35,26，其中位数为＝31；乙得分为：12,16,21,23,29,31,32，其中位数为23，故甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54.15．某高中共有学生2000名，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.1，现用分层抽样的方法在全校抽取若干名学生参加社区服务，相关信息如下表：年级高一高二高三男生(人数)a310b女生(人数)cd200抽样人数x1510则x＝________.-11-\n[答案]　25[解析]　由抽到高三年级男生的概率是0.1，可得b＝200，设在全样抽取n名学生参加社区服务，则有＝，解得n＝50，∴x＝50－15－10＝25.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分．[解析]　(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.＝＝0.03，补全后的直方图如下：(2)平均分为：＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.17．(本小题满分12分)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．[解析]　(1)画茎叶图，中间数为数据的十位数甲乙-11-\n728　98　7　5　1　033　4　6　8从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．(2)根据公式得：甲＝33，乙＝33；s甲＝3.96，s乙＝3.35；甲的中位数是33，乙的中位数是33.5.综合比较，选乙参加比赛较为合适．18．(本小题满分12分)(2022·北京高考)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)[解析]　思路分析：(1)从频率分布表中读出阅读时间不少于12小时人数求概率．(2)利用频率比组距为小矩形的高求解．(3)由图作出估计应为第4组．(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085.课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，-11-\n所以b＝＝＝0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数为＝7.68在第4组．19．(本小题满分12分)地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(2)完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计七年级八年级合计附：K2＝.临界值表：P(K2≥k)0.100.050.010k2.7063.8416.635[解析]　(1)七年级学生竞赛平均成绩为(45×30＋55×40＋65×20＋75×10)÷100＝56(分)，八年级学生竞赛平均成绩为(45×15＋55×35＋65×35＋75×15)÷100＝60(分)．(2)2×2列联表如下：成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计七年级7030100八年级5050100合计12080200∴K2＝≈8.333>6.635，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”．20．(本小题满分13分)某种产品的广告费支出x与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040506070-11-\n如果y与x之间具有线性相关关系．(1)作出这些数据的散点图；(2)求这些数据的线性回归方程；(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额．[解析]　(1)(2)＝5，＝50，iyi＝1390，＝145，b＝＝7，a＝－b＝15，∴线性回归方程为y＝7x＋15.(3)当x＝9时，y＝78.即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元．21．(本小题满分14分)(文)某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频率分布表．区间[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人数25ab(1)求正整数a，b，N的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组中抽取的人数分别是多少？(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．[解析]　(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，-11-\n所以a＝25人．且b＝25×＝100人．总人数N＝＝250人．(2)因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×＝1，第2组的人数为6×＝1，第3组的人数为6×＝4，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为.(理)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.8170　3　6　8　962　5　759(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．[解析]　(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为s2＝(102＋(－1)2＋22＋52＋72＋82＋(－9)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－12)2)＝52.(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,99)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．-11-\n记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A，故所求概率为P(A)＝＝.-11-