【走向高考】2022届高考数学一轮基础巩固 第13章 第2节 不等式的证明（含解析）北师大版选修4-5

【走向高考】2022届高考数学一轮基础巩固第13章第2节不等式的证明北师大版选修4-5一、选择题1．若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y≥－2，则(　　)A．x>0，y>0　　　　　B．x<0，y<0C．x>0，y<0D．x<0，y>0[答案]　A[解析]　x，y异号时，显然与xy>1矛盾，所以可排除C、D．假设x<0，y<0，则x<.∴x＋y<y＋≤－2与x＋y≥－2矛盾，故假设不成立．又xy≠0，∴x>0，y>0.2．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是(　　)A．M≥NB．M≤NC．M＝ND．不能确定[答案]　A[解析]　M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy)＝[(x2＋y2－2xy)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)]＝[(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0.故M≥N.3．(2022·南昌第一次模拟)若x>1，则函数y＝x＋＋的最小值为(　　)A．16B．8C．4D．非上述情况[答案]　B[解析]　y＝x＋＋＝x＋＋≥2＝8，当且仅当x＝2＋时等号成立．二、填空题4．若<<0，则下列四个结论：①|a|>|b|；②a＋b<ab；③＋>2；④<2a－B．其中正确的是________．[答案]　②③④[解析]　取特殊值a＝－1，b＝－2，代入验证得②③④正确．5．若T1＝，T2＝，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________．-5-\n[答案]　T1≤T2[解析]　因为－＝s·＝≤0.所以T1≤T2.6．设0<x<1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是________．[答案]　c[解析]　由a2＝2x，b2＝1＋x2＋2x>a2，a>0，b>0，得b>A．又c－b＝－(1＋x)＝＝>0，得c>b，知c最大．三、解答题7．已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.[解析]　因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，从而3|y|<＋＝，所以|y|<.8．(2022·新课标Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．[解析]　(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.一、选择题1．已知a>0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是(　　)A．M≥NB．M>NC．M≤ND．M<N[答案]　B[解析]　取两组数：a，a＋1，a＋2与a2，(a＋1)2，(a＋2)2，显然a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3是顺序和；而a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”大于“乱序和”．故应选B．-5-\n2．若长方体从一个顶点出发的三条棱长之和为3，则其对角线的最小值为(　　)A．3B．C．D．[答案]　B[解析]　不妨设长方体同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则a＋b＋c＝3，其对角线长l＝≥＝，当且仅当a＝b＝c＝1时，对角线长取得最小值，故选B．3．(2022·黄冈模拟)若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是(　　)A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2][答案]　B[解析]　由已知对任意t∈(0,2]恒成立，于是只要当t∈(0,2]时，记f(t)＝t＋，g(t)＝＋2()2，可知两者都在(0,2]上的单调递减，f(t)min＝f(2)＝，g(t)min＝g(2)＝1，所以a∈[，1]，选B．二、填空题4．设x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系是________．[答案]　M<N[解析]　N＝＋>＋＝＝M.5．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．[答案]　M>N[解析]　∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2.∴＋>＋.即M>N.6．(2022·陕西高考)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．[答案]　[解析]　解法1：在平面直角坐标系aob中，由条件知直线ma＋nb＝5与圆a2＋b2＝5有公共点，-5-\n∴≤，∴≥，∴的最小值为.解法2：由柯西不等式：·≥ma＋nb，∴≥＝.三、解答题7．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m.求证：a＋2b＋3c≥9.[分析]　(1)应用绝对值不等式的解法确定m的值；(2)利用柯西不等式证明．[解析]　(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证法一：由(1)＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)＝1＋1＋1＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.证法二：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9.8．(2022·广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.[解析]　(1)令n＝1得：S－(－1)S1－3×2＝0，即S＋S1－6＝0，∴(S1＋3)(S1－2)＝0，∵S1>0，∴S1＝2，即a1＝2.(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，得：(Sn＋3)[Sn－(n2＋n)]＝0，∵an>0(n∈N*)，Sn>0，从而Sn＋3>0，∴Sn＝n2＋n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，又a1＝2＝2×1，∴an＝2n(n∈N*)．(3)当k∈N*时，k2＋>k2＋－＝(k－)(k＋)，-5-\n∴＝＝·<·＝·＝·[－]∴＋＋…＋<[(－)＋(－)＋…＋－]＝(－)＝－<.-5-