第五章三角函数7三角函数的应用训练（附解析新人教A版必修第一册）

三角函数的应用A级——基础过关练1．简谐运动y＝4sin的相位与初相是(　　)A．5x－，B．5x－，4C．5x－，－D．4，【答案】C　【解析】相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－.2．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(　　)A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin【答案】D　【解析】由最小正周期为，排除A，B；由初相为，排除C．3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos，则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　)A．s1＞s2B．s1＜s2C．s1＝s2D．不能确定【答案】C　【解析】当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.故选C．4.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时角θ的大小及单摆频率是(　　)A．2，B．，　6 C．，πD．2，π【答案】B　【解析】当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为.5．(多选)下图是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)A．该质点的运动周期是0.7sB．该质点振幅是5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点运动周期为0.8s【答案】BCD6．简谐运动y＝－3sin(x≥0)的频率为________．【答案】　【解析】由诱导公式可知y＝－3sin＝3sin，故频率为＝.7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝______，其中t∈[0,60]．【答案】10sin　【解析】秒针1s转弧度，ts后秒针转了t弧度，如图，sin＝，所以d＝10sin.8．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，6 ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．【答案】　【解析】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，即sin＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z.因为ω>0，所以令k＝1，得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝.故ω的最小值为.9．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝Asin(ωx＋φ)＋b，如图所示．(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)观察图象知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，T＝14－8＝6，所以T＝12，所以ω＝＝.b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，所以y＝10sin＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|＜，所以φ＝.所以所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．B级——能力提升练10．如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(　　)6 A．ω＝，A＝3B．ω＝，A＝3C．ω＝，A＝5D．ω＝，A＝5【答案】B　【解析】由题意知A＝3，ω＝＝.11．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是(　　)A．，　　　　　　　B．，C．，　　　　　　　D．，【答案】C　【解析】由题意可知，A＝，32＋2＝52，则T＝8，ω＝＝，y＝sin.由sinφ＝，得sinφ＝.因为|φ|＜，所以φ＝.因此频率是，初相为.12．如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是(　　)A．h＝8cost＋10　　　　　　　6 B．h＝－8cost＋10C．h＝－8sint＋10　　　　　　D．h＝－8cost＋10【答案】D　【解析】依题意可设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，易知T＝12，A＝8，B＝10，所以ω＝＝，则h＝8sin＋10.当t＝0时，8sinφ＋10＝2，得sinφ＝－1，可取φ＝－，所以h＝8sin＋10＝－8cost＋10.13．示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M(2,4)和P(6,0)，已知M，P是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则得曲线的方程是________．【答案】y＝4sin　【解析】由题意可设曲线方程为y＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．因为＝4，所以T＝16，所以ω＝＝，所以y＝4sin.又曲线经过点M(2,4)，所以×2＋φ＝＋2kπ，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝4sin.14．函数y＝2sin振幅是________；初相是________．2　－C级——探究创新练15．(2021年杨浦区校级模拟)如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心O距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点P0处．(1)试写出蚂蚁距离地面的高度h(米)关于时刻t(分)的函数关系式h(t)；(2)在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？解：(1)设在时刻t(分)时蚂蚁达到点P，由OP在t分钟内所转过的角为t＝t，6 如图，以Ox为始边，OP为终边的角为t＋，则点P的纵坐标为sin，则h＝sin＋1.5＝1.5－cost，可得h＝1.5－cost(t≥0)．(2)由题意可得h＝1.5－cost＞1，可得cost＜，即＋2kπ＜t＜＋2kπ，k∈Z，解得4k＋＜t＜4k＋，k∈Z，因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故t∈[0,4]，可得＜t＜.所以蚂蚁有分钟距地面1米以上．6