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第五章三角函数5.1第2课时两角和与差的正弦余弦正切公式训练(附解析新人教A版必修第一册)
第五章三角函数5.1第2课时两角和与差的正弦余弦正切公式训练(附解析新人教A版必修第一册)
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式A级——基础过关练1.sin105°的值为( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】sin105°=sin(45°+60°)=sin45°·cos60°+cos45°sin60°=×+×=.2.(多选)下列四个选项,化简正确的是( )A.cos(-15°)=B.cos15°cos105°+sin15°sin105°=cos(15°-105°)=0C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=D.sin14°cos16°+sin76°cos74°=【答案】BCD 【解析】对于A,(方法一)原式=cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=×+×=,(方法二)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=,A错误.对于B,原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0,B正确.对于C,原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=,C正确.对于D,原式=cos76°cos16°+sin76°sin16°=cos(76°-16°)=cos60°=,D正确.故选BCD.3.(2020年青岛高一期中)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-,则tanβ=( )A.2B.C.D.6 【答案】A 【解析】因为α,β为锐角,所以0<α+β<π,所以sin(α+β)==,tan(α+β)==-2,则tanβ=tan[(α+β)-α]===2.故选A.4.(2020年抚州高一期中)已知cos=2cos(π+α),且tan(α+β)=,则tanβ的值为( )A.-7B.7C.1D.-1【答案】B 【解析】因为cos=2cos(π+α),所以sinα=-2cosα,即tanα=-2.又因为tan(α+β)===,解得tanβ=7.故选B.5.已知cos(α-β)=,sinβ=-,且α∈,β∈,则cosα=( )A.B.C.-D.-【答案】B 【解析】因为0<α<,-<β<0,所以0<α-β<π.又cos(α-β)=,所以sin(α-β)=.因为-<β<0,sinβ=-,所以cosβ=.所以cosα=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=×-×=.6.(2020年上海黄浦区高一期中)已知sinx=,x∈,则tan的值等于________.【答案】- 【解析】因为sinx=,x∈,所以cosx=-,tanx=-.所以tan===-.6 7.若sinα+2cosα=0(0<α<π),则tanα=________,tan=________.【答案】-2 - 【解析】因为sinα+2cosα=0(0<α<π),所以sinα=-2cosα,即tanα=-2.所以tan===-.8.(2020年湘潭高一期中)已知tanα,tanβ是方程2x2+3x-5=0的两个实数根,则tan(α+β)=________.【答案】- 【解析】因为tanα,tanβ是方程2x2+3x-5=0的两个实数根,所以tanα+tanβ=-,tanαtanβ=-.所以tan(α+β)===-.9.已知cosα=(α为第一象限角),求cos,sin的值.解:因为cosα=,且α为第一象限角,所以sinα===.所以cos=coscosα-sinsinα=×-×=,sin=sincosα+cossinα=×+×=.B级——能力提升练10.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=( )A.±1B.1C.-1D.0【答案】D 【解析】原式=sin[60°+(θ+15°)]+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=-cos(θ+15°)+sin(θ+15°)+cos(θ+45°)=sin(θ-45°)+cos(θ+45°)=0.故选D.11.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan2α的值为( )6 A.-B.C.D.-【答案】A 【解析】tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]====-.12.在△ABC中,cosA=,cosB=,则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】B 【解析】由题意得sinA=,sinB=,所以cosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=-cosA·cosB+sinAsinB=-×+×=-=-=-<0,所以C是钝角,故△ABC是钝角三角形.13.在△ABC中,tanA+tanB+=tanA·tanB,则角C等于( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】由已知,得tanA+tanB=·(tanAtanB-1),即=-.所以tan(A+B)=-.所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,得C=.14.已知cosα=,sin(α-β)=,且α,β∈.(1)求cos(2α-β)的值;(2)求β的值.解:(1)因为α,β∈,所以α-β∈.又因为sin(α-β)=>0,所以0<α-β<.所以sinα==,6 cos(α-β)==.cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β)=×-×=.(2)cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.又因为β∈,所以β=.C级——探究创新练15.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x(x∈R).(1)求函数f(x)的周期和递增区间;(2)若函数g(x)=f(x)-m在上有两个不同的零点x1,x2,求tan(x1+x2)的值.解:(1)因为f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x=1+2sinx·cosx-2cos2x=sin2x-cos2x=sin(x∈R),所以函数f(x)的周期T==π.因为函数y=sinx的单调递增区间为(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),化简得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即(k∈Z).(2)因为方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m.在直角坐标系中画出函数f(x)=sin在上的图象,如图,当且仅当m∈[1,)时,6 方程f(x)=m在上的区间和有两个不同的解x1、x2,且x1与x2关于直线x=对称,即=,所以x1+x2=,故tan(x1+x2)=tan=-1.6
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高中 - 数学
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