五年高考2022届高考数学复习第九章第二节圆的方程及点线圆的位置关系文全国通用

考点　圆的方程1．(2022·新课标全国Ⅱ，7)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)A.B.C.D.解析　由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y－＝，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为＝.故选B.答案　B2．(2022·北京，2)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析　圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案　D3．(2022·浙江，5)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)A．－2B．－4C．－6D．－8解析　将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.答案　B4．(2022·北京，7)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)A．7B．6C．5D．4解析　若∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x2＋y2＝m2.8\n由题意知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1与圆O：x2＋y2＝m2有公共点，所以|m－1|≤|OC|≤m＋1，易知|OC|＝5，所以4≤m≤6，故m的最大值为6.故选B.答案　B5．(2022·湖南，6)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)A．21B．19C．9D．－11解析　圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆心C2(3，4)，半径r2＝.从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.答案　C6．(2022·安徽，6)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析　过P点作圆的切线PA、PB，连接OP，如图所示．显然，直线PA的倾斜角为0，又OP＝＝2，PA＝，OA＝1，因此∠OPA＝，由对称性知，直线PB的倾斜角为.若直线l与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是.故选D.答案　D7．(2022·新课标全国Ⅱ，12)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是(　　)A．[－1，1]B.C．[－，]D.解析　过M作圆O的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，若在圆O上存在点N，使∠OMN＝45°，则∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x0≤1，故选A.答案　A8\n8．(2022·安徽，6)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)A．1B．2C．4D．4解析　由圆的一般方程化为圆的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝5，可知圆心坐标为(1，2)，半径为，圆心到直线的距离为＝1，由勾股定理可得弦长一半为＝2.故弦长为4.答案　C9．(2022·广东，7)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(　　)A．x＋y－＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋＝0解析　由于所求切线垂直于直线y＝x＋1，可设所求切线方程为x＋y＋m＝0.由圆心到切线的距离等于半径得＝1，解得m＝±.又由于与圆相切于第一象限，则m＝－.答案　A10．(2022·广东，8)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于(　　)A．3B．2C.D．1解析　如图所示，设AB的中点为D，则OD⊥AB，垂足为D，连OA.由点到直线的距离得|OD|＝＝1，∴|AD|2＝|OA|2－|OD|2＝4－1＝3，|AD|＝，∴|AB|＝2|AD|＝2.答案　B11．(2022·湖南，13)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝．解析　如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝2.答案　28\n12．(2022·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．解析　直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案　(x－1)2＋y2＝213．(2022·湖北，16)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为．(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为．解析　(1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝＋12＝2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.(2)　法一　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0,＋1)．又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(＋1)＝x－0，即y＝x＋(＋1)．令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.法二　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1)．又点C(1，)，设过点B的切线方程为y－(＋1)＝kx，即kx－y＋(＋1)＝0.由题意，圆心C(1，)到直线kx－y＋(＋1)＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.答案　(1)(x－1)2＋(y－)2＝2　(2)－－114．(2022·湖北，17)已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则(1)b＝；(2)λ＝．解析　设M(x，y)，则x2＋y2＝1，y2＝1－x2，λ2＝＝＝＝＝－＋.∵λ为常数，∴b2＋b＋1＝0，解得b＝－或b＝－2(舍去)．∴λ2＝－＝，解得λ＝或λ＝－(舍去)．答案　(1)－　(2)8\n15．(2022·重庆，14)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为．解析　圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为C(－1，2)，半径为3.因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，即＝，所以a＝0或6.答案　0或616．(2022·湖北，14)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1(1＜θ＜)．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝．解析　由题意圆心到该直线的距离为1，而圆半径为＞2，故圆上有4个点到该直线的距离为1.答案　417．(2022·浙江，13)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于．解析　圆的圆心为(3，4)，半径是5，圆心到直线的距离d＝＝，可知弦长l＝2＝4.答案　418．(2022·天津，12)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为．解析　∵l与圆相交所得弦的长为2，∴＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A，与y轴交点B，∴S△AOB＝·||||＝·≥×6＝3.答案　319．(2022·新课标全国Ⅰ，20)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；8\n(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.20．(2022·广东，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．解　(1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．(2)设线段AB的中点M(x0，y0)，由圆的性质可得C1M垂直于直线l，设直线l的方程为y＝mx，易知直线l的斜率存在，所以kC1M·m＝－1，y0＝mx0，所以·＝－1，所以x－3x0＋y＝0，即＋y＝，8\n因为动直线l与圆C1相交，所以<2，所以m2<，所以y＝m2x<x，所以3x0－x<x，解得x0>或x0<0，又因为0<x0≤3，所以<x0≤3.所以M(x0，y0)满足＋y＝，即M的轨迹C的方程为＋y2＝.(3)由题意知直线L表示过定点T(4，0)，斜率为k的直线．结合图形，＋y2＝表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧．根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧，设P，则kPT＝＝，而当直线L与轨迹C相切时，＝，解得k＝±在这里暂取k＝，因为<，所以kPT<k.结合图形，可得对于x轴对称下方的圆弧，当－≤k≤0或k＝时，直线L与x轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－≤k≤或k＝±，综上所述：当－≤k≤或k＝±时，直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一交点．21．(2022·新课标全国Ⅰ，20)已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l8\n与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.22．(2022·新课标全国Ⅱ，20)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2.在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．解　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.又P在双曲线y2－x2＝1上，从而得由得此时，圆P的半径r＝.由得此时，圆P的半径r＝.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.8