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五年高考2022届高考数学复习第十章第二节古典概型与几何概型文全国通用
五年高考2022届高考数学复习第十章第二节古典概型与几何概型文全国通用
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考点一 古典概型1.(2022·新课标全国Ⅰ,4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.B.C.D.解析 从1,2,3,4,5中任取3个数有10个基本事件,构成勾股数的只有3,4,5一组,故概率为.答案 C2.(2022·陕西,6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.B.C.D.解析 5个点中任取2个点共有10种方法,若2个点之间的距离小于边长,则这2个点中必须有1个为中心点,有4种方法,于是所求概率P==.答案 B3.(2022·湖北,5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( )A.p1<p2<p3B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2D.p3<p1<p2解析 总的基本事件个数为36,向上的点数之和不超过5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个,则向上的点数之和不超过5的概率p1==;向上的点数之和大于5的概率p2=1-=;向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等,故向上的点数之和为偶数的概率p3=.即p1<p3<p2,选C.答案 C4.(2022·安徽,5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,11\n这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.B.C.D.解析 五人录用三人共有10种不同方式,分别为:{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}.其中含甲或乙的情况有9种,故选D.答案 D5.(2022·安徽,10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.B.C.D.解析 记1个红球为A,2个白球为B1,B2,3个黑球为C1,C2,C3,则从中任取2个球,基本事件空间Ω={(A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)},共计15(种),而两球颜色为一白一黑的有如下6种:(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),所以所求概率为=.答案 B6.(2022·新课标全国,6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.B.C.D.解析 由题意得,甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×3=9(种),又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3,故概率P==.答案 A7.(2022·浙江,14)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是______.解析 设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为a,b,c,甲、乙两人各抽取1张的所有情况有ab,ac,ba,bc,ca,cb,共6种,其中两人都中奖的情况有ab,ba,共2种,所以所求概率为.答案 11\n8.(2022·广东,12)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为________.解析 从a,b,c,d,e中任取两个不同字母的所有基本事件为:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10个,其中取到字母a的有4个,故所求概率为=0.4.答案 0.49.(2022·新课标全国Ⅰ,13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.解析 设两本数学书为A1,A2,一本语文为B.则基本事件有(A1A2B),(A1BA2),(A2A1B),(A2BA1),(BA1A2),(BA2A1)共6种.其中2本数学书相邻的有(A1A2B),(A2A1B),(BA1A2),(BA2A1)共4种.∴概率为=.答案 10.(2022·新课标全国Ⅱ,13)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红,白),(白,红),(红,蓝),(蓝,红),(白,蓝),(蓝,白),(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共9种,他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共3种.故所求概率为P==.答案 11.(2022·江苏,7)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________.解析 由题意知m的可能取值为1,2,3,…,7;n的可能取值为1,2,3,…,9.由于是任取m,n:若m=1时,n可取1,2,3,…,9.共9种情况;同理m取2,3,…,7时,n也各有9种情况,故m,n的取值情况一共有7×9=63(种).若m,n都取奇数,则m的取值为1,3,5,7,n的取值为1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有4×5=20(种).故所求概率为.答案 12.(2022·新课标全国Ⅱ,13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,11\n其和为5的概率是______________.解析 该事件基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}共有10个,记A=“其和为5”={(1,4),(2,3)}有2个,∴P(A)==0.2.答案 0.213.(2022·浙江,12)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于________.解析 从3男,3女中任选两名,共有15种基本情况,而从3女中任选2名女同学,则有3种基本情况,故所求事件的概率为=.答案 14.(2022·江苏,6)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是________.解析 由题意可知,这10个数分别为1,-3,9,-27,81,-35,36,-37,38,-39,在这10个数中,比8小的有5个负数和1个正数,故由古典概型的概率公式得所求概率P==.答案 15.(2022·天津,15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果;②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.11\n②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.因此,事件A发生的概率P(A)==.16.(2022·山东,16)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.解 (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P==.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的,事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个.因此,A1被选中且B1未被选中的概率为P=.17.(2022·四川,16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;11\n(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.解 (1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)==.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P(B)=1-=.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.18.(2022·天津,15)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.11\n因此,事件M发生的概率P(M)==.19.(2022·陕西,19)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.解 (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如下表:组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;从B组抽到的6个评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取1人的所有结果为:由以上树状图知所有结果共18种,其中2人都支持1号歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共4种,故所求概率P==.20.(2022·天津,15)编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分153521282536183411\n运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:区间[10,20)[20,30)[30,40)人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;②求这2人得分之和大于50的概率.解 (1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11},{A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共15种.②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共5种.所以P(B)==.考点二 几何概型1.(2022·山东,7)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤log≤1”发生的概率为( )A.B.C.D.解析 由-1≤log≤1,得≤x+≤2,∴0≤x≤.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P==.答案 A2.(2022·湖北,8)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,p2为事件“xy≤”的概率,则( )A.p1<p2<B.p2<<p111\nC.<p2<p1D.p1<<p2解析 在直角坐标系中,依次作出不等式x+y≤,xy≤的可行域如图所示:依题意,p1=,p2=,而=,所以p1<<p2.故选D.答案 D3.(2022·福建,8)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )A.B.C.D.解析 由图形知C(1,2),D(-2,2),∴S四边形ABCD=6,S阴=×3×1=.∴P==.答案 B4.(2022·辽宁,6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A.B.C.D.解析 由几何概型的概率公式可知,质点落在以AB为直径的半圆内的概率P===,故选B.答案 B5.(2022·湖南,9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则等于( )11\nA.B.C.D.解析 矩形ABCD如图所示,在点P从D点向C点运动过程中,DP在增大,AP也在增大,而BP在逐渐减小,当P点到P1位置时,BA=BP1,当P点到P2位置时,AB=AP2,故点P在线段P1P2上时,△ABP中边AB最大,由题意可得P1P2=CD.在Rt△BCP1中,BP=CD2+BC2=AB2+AD2=AB2.即AD2=AB2,所以=,故选D.答案 D6.(2022·重庆,15)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为________.解析 方程x2+2px+3p-2=0有两个负根,则有即解得p≥2或<p≤1,又p∈[0,5],则所求概率为p===.答案 7.(2022·福建,13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.解析 依题意,得=,所以=,解得S阴影=0.18.答案 0.188.(2022·重庆,15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答).解析 设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x分钟,第y分钟,根据题意可画出图形,如图所示,则总事件所占的面积为(50-30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={(x,y)|y-x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},11\n如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为×15×15=,所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)==.答案 9.(2022·福建,14)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为________.解析 由3a-1<0,得a<.∵0≤a≤1,∴0≤a<,根据几何概型知所求概率为=.答案 10.(2022·湖北,15)在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为,则m=________.解析 由题意[-2,4]的区间长度为6,而满足条件的x取值范围的区间长度为5,故m取3.答案 311
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:59:30
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