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五年高考真题2022届高考数学复习第十四章不等式选讲理全国通用
五年高考真题2022届高考数学复习第十四章不等式选讲理全国通用
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【大高考】(五年高考真题)2022届高考数学复习第十四章不等式选讲理(全国通用)考点一 解绝对值不等式1.(2022·重庆,16)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=________.解析 由绝对值的性质知f(x)的最小值在x=-1或x=a时取得,若f(-1)=2|-1-a|=5,a=或a=-,经检验均不合适;若f(a)=5,则|x+1|=5,a=4或a=-6,经检验合题意,因此a=4或a=-6.答案 4或-62.(2022·广东,9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为________.解析 原不等式等价于或或解得x≥2或x≤-3.故原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.答案 {x|x≤-3或x≥2}3.(2022·湖南,13)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为,则a=________.解析 依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式的解集为,从而有此方程组无解.当a<0时,不等式的解集为,从而有解得a=-3.答案 -38\n4.(2022·重庆,16)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min=,依题意得a2+a+2≤⇔-1≤a≤.答案 5.(2022·山东,14)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为________.解析 当x≤-1时,原不等式变为-(x+1)+(x-2)≥1,即-3≥1,不成立;当-1<x<2时,原不等式变为x+1-(2-x)≥1,即x≥1,∴1≤x<2;当x≥2时,原不等式变为(x+1)-(x-2)≥1,即3≥1,∴x≥2.综上所述,不等式的解集是[1,+∞).对于区间[-3,3],只有在区间[1,3]取值时不等式才能成立,故在区间[-3,3]随机取值,使不等式成立的概率是P==.答案 6.(2022·江西,15(2))在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为________.解析 由||x-2|-1|≤1得:-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,所以-2≤x-2≤2,即0≤x≤4,故不等式的解集是{x|0≤x≤4}.答案 {x|0≤x≤4}7.(2022·重庆,16)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是________.解析 法一 设f(x)=|x-5|+|x+3|=可求得f(x)的值域为[8,+∞),因为原不等式无解,只需a≤8,故a的取值范围是(-∞,8].法二 由绝对值不等式,得|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,∴不等式|x-5|+|x+3|<a无解时,a的取值范围为(-∞,8].8\n答案 (-∞,8]8.(2022·陕西,15A)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.解析 由|x-a|+|x-1|≥|a-1|,则|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.答案 [-2,4]9.(2022·广东,9)不等式|x+2|-|x|≤1的解集为________.解析 由题意知,-2和0将R分成三部分.(1)当x≤-2时,原不等式可化简为-(x+2)-(-x)≤1,即-2≤1,∴x≤-2.(2)当-2<x<0时,化简为(x+2)+x≤1,即2x≤-1,∴x≤-,∴-2<x≤-.(3)当x≥0时,化简为x+2-x≤1,即2≤1,此时无解.综上可得不等式的解集为.答案 10.(2022·陕西,15A)若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是________.解析 法一 |x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和,而|BC|=3.∴|AB|+|AC|≥3,∴|a|≥3,∴a≤-3或a≥3.法二 设f(x)=|x+1|+|x-2|=∴f(x)的图象如图所示,∴f(x)≥3,∴|a|≥3,∴a≤-3或a≥3.法三 ∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴|a|≥3.∴a≤-3或a≥3.答案 (-∞,-3]∪[3,+∞)11.(2022·陕西,24)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.8\n(1)求实数a,b的值;(2)求+的最大值.解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则解得a=-3,b=1.(2)+=+≤=2=4,当且仅当=,即t=1时等号成立,故(+)max=4.12.(2022·新课标全国Ⅰ,24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得,f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).13.(2022·新课标全国Ⅱ,24)设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).8\n(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.(1)证明 由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2.(2)解 f(3)=|3+|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是.14.(2022·辽宁,24)已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.解 (1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3.考点二 不等式的证明8\n1.(2022·湖北,6)设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则等于( )A.B.C.D.解析 法一 由已知得①+②-③:(2a-x)2+(2b-y)2+(2c-z)2=0,∴x=2a,y=2b,z=2c,∴=.故选C.法二 由题设及柯西不等式得|ax+by+cz|≤=20,当且仅当==时取等号,此时令===k,易知k=,∴=k=,故选C.答案 C2.(2022·湖南,10)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为________.解析 由柯西不等式得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时等号成立,即最小值为12.答案 123.(2022·湖北,13)设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z=________.解析 由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2当且仅当==时等号成立,此时y=2x,z=3x.∵x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,∴x=,y=,z=.8\n∴x+y+z==.答案 4.(2022·陕西,15A)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为________.解析 (am+bn)(bm+an)=abm2+(a2+b2)mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)≥2abmn+2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2(当且仅当m=n=时等号成立).答案 25.(2022·新课标全国Ⅱ,24)设a、b、c、d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明 (1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.6.(2022·天津,19)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.(1)解 当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.8\n(2)证明 由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)·qn-2-qn-1=-qn-1=-1<0.所以,s<t.8
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高考 - 历年真题
发布时间:2022-08-25 23:58:58
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