全国各地2022届高考数学 押题精选试题分类汇编9 圆锥曲线 理

2022届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）已知直线交椭圆于两点,椭圆与轴的正半轴交于点,若的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线的方程是（　　）A．B．C．D．【答案】（　　）A．设,又,由重心坐标得,所以弦的中点为.因为点在椭圆上,所以,,作差得,将(1)和(2)代入得,所以,直线L为:．（2022届山东省高考压轴卷理科数学）已知抛物线y2=4x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的焦距等于（　　）A．B．2C．D．2【答案】B【解析】∵抛物线y2=4x的准线x=-1过双曲线-=1(a>0,b35\n>0)的左顶点,∴a=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y=2x,∴b=2,∴c==,∴双曲线的焦距为2.．（2022新课标高考压轴卷（一）理科数学）已知双曲线的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的离心率等于（　　）A．B．C．2D．2【答案】B【解析】抛物线的焦点为,即.双曲线的渐近线方程为,由,即,所以,所以,即,即离心率为,选B．．（2022届安徽省高考压轴卷数学理试题）双曲线的左右焦点分别是,点在其右支上,且满足,,则的值是（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】(方法一)即,又即由题意知,,故.(方法二)焦半径公式法:,故.选C．点评:本题考查双曲线的简单几何性质和等差数列前项和的求法.通过得出的关系式解题的关键.．（2022届四川省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线的方程为,则离心率的范围是（　　）35\nA．B．C．D．【答案】B．（2022届福建省高考压轴卷数学理试题）设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为（　　）A．B．C．D．16【答案】B【解析】由题意,得:显然,AB最短即通径,,故．（2022届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段,则双曲线的离心率为（　　）A．B．C．D．【答案】A．（2022届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）若双曲线的左、右顶点分别为,点是第一象限内双曲线上的点.若直线的倾斜角分别为,且,那么的值是（　　）A．B．C．D．【答案】D【解析】:∵双曲线的方程为,,∴双曲线的左顶点为,右顶点为.设,得直线的斜率,直线的斜率,∴①.∵是双曲线上的点,∴,得,代人①式得.∵直线35\n的倾斜角分别为,所以,∴.∵是第一象限内双曲线上的点,易知均为锐角,∴,解得.故选D．．（2022新课标高考压轴卷（一）理科数学）抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是（　　）A．B．C．D．0【答案】B【解析】抛物线的标准方程为,抛物线的焦点坐标为,准线方程为,因为M到焦点的距离为1,则M到准线的距离为1,即,所以,选B．．（2022届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为（　　）A．B．C．D．【答案】B依题意知,所以双曲线的方程为．（2022届海南省高考压轴卷理科数学）设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是（　　）A．(0,2)B．[0,2]C．(2,+∞)D．[2,+∞)【答案】答案:C考点:抛物线的简单性质.分析:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|可由y0表达,由此可求y0的取值范围解答:解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y0+2>4,所以y0>2(13)x24﹣y23=1(14)16(15)m<-1(16)．（2022届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）过抛物线的焦点35\n,斜率为的直线交抛物线于两点,若,则的值为（　　）A．4B．5C．D．【答案】A【解析】:据题意设.由,则.联立消去得,则.∴,即,即,解得或(舍去).故选（　　）A．二、填空题．（2022届浙江省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________________.【答案】+=1【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为离心率为,所以=,解得=,即a2=2b2.又△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a,,所以4a=16,a=4,所以b=2,所以椭圆方程为+=1.35\n．（2022届北京市高考压轴卷理科数学）抛物线的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为【答案】【解析】抛物线的准线为,双曲线的两渐近线为和,令,分别解得,所以三角形的低为,高为3,所以三角形的面积为.．（2022届新课标高考压轴卷（二）理科数学）过点M(—2,0)的直线m与椭圆两点,线段的中点为P,设直线m的斜率为,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为_______【答案】-1/2．（2022届四川省高考压轴卷数学理试题）是抛物线上一点,是抛物线的焦点.以为始边,为终边的角,则(是坐标原点)的面积为____________________.【答案】．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）抛物线的焦点为,在抛物线上,且,弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为【答案】.如图,,,当且仅当时取“=”号35\n．（2022届重庆省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线L交C于两点,且的周长为16,那么的方程为______.【答案】解析:由得a=4.c=,从而b=8,为所求.．（2022届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,且=2c,若点P在椭圆上,且满足,则该椭圆的离心率e等于________【答案】．（2022届海南省高考压轴卷理科数学）已知双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）和椭圆x216+y29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_______【答案】考点:圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.分析:先利用双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）和椭圆有相同的焦点求出c=7,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程.解答:解:由题得,双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）的焦点坐标为(7,0),(﹣7,0),c=7:且双曲线的离心率为2×74=72=ca⇒a=2.⇒b2=c2﹣a2=3,35\n双曲线的方程为x24﹣y23=1.故答案为:x24﹣y23=1.三、解答题．（2022届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知椭圆C:的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切(Ⅰ)求椭圆C的标准方程(Ⅱ)若直线L:与椭圆C相交于A、B两点,且求证:的面积为定值在椭圆上是否存在一点P,使为平行四边形,若存在,求出的取值范围,若不存在说明理由.请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.【答案】(Ⅰ)解:由题意得椭圆的方程为.(Ⅱ)设,则A,B的坐标满足消去y化简得,,得=.35\n,即即=.O到直线的距离===为定值..(Ⅲ)若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上,则设,则由于P在椭圆上,所以从而化简得化简得(1)由知(2)35\n解(1)(2)知无解不存在P在椭圆上的平行四边形.．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效)已知的顶点A在射线上,、两点关于x轴对称,0为坐标原点,且线段AB上有一点M满足当点A在上移动时,记点M的轨迹为W.(Ⅰ)求轨迹W的方程;(Ⅱ)设是否存在过的直线与W相交于P,Q两点,使得若存在,求出直线;若不存在,说明理由.【答案】解:(Ⅰ)因为A,B两点关于x轴对称,所以AB边所在直线与y轴平行.设由题意,得所以点M的轨迹W的方程为(Ⅱ)假设存在,设当直线时,由题意,知点P,Q的坐标是方程组的解,消去y得所以直线与双曲线的右支(即W)相交两点P,Q,即①35\n要使则必须有解得代入①不符合.所以不存在直线,使得当直线时,不符合题意,综上:不存在直线,使得．（2022届海南省高考压轴卷理科数学）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.2022海南省高考压轴卷数学【答案】(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为,由已知得,所以椭圆的标准方程为(Ⅱ)设,其中.由已知及点在椭圆上可得.整理得,其中.(i)时.化简得所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段.35\n(ii)时,方程变形为,其中当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分.当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分;当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．（2022届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆的左顶点,过右焦点且垂直于长轴的弦长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若过点的直线与椭圆交于点,与轴交于点,过原点与平行的直线与椭圆交于点,求证:为定值.【答案】解:(1),设过右焦点且垂直于长轴的弦为,将代入椭圆方程,解得,故,可得所以,椭圆方程为(2)由题意知,直线斜率存在,故设为,则直线的方程为,直线的方程为.可得,则设,,联立方程组,消去得:,35\n,,则设与椭圆交另一点为,,联立方程组,消去得,,所以故.所以等于定值．（2022届海南省高考压轴卷理科数学）已知抛物线的焦点为,过点作直线与抛物线交于、两点,抛物线的准线与轴交于点.(1)证明:;(2)求的最大值,并求取得最大值时线段的长.【答案】解:(Ⅰ)由题设知,F(,0),C(-,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l方程为x=my+,代入抛物线方程y2=2px,得y2-2pmy-p2=0.y1+y2=2pm,y1y2=-p2.不妨设y1>0,y2<0,则tan∠ACF=====,tan∠BCF=-=-,∴tan∠ACF=tan∠BCF,所以∠ACF=∠BCF.35\n(Ⅱ)如(Ⅰ)所设y1>0,tan∠ACF=≤=1,当且仅当y1=p时取等号,此时∠ACF取最大值,∠ACB=2∠ACF取最大值,并且A(,p),B(,-p),|AB|=2p.．（2022届上海市高考压轴卷数学（理）试题）本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题6分.已知点是离心率为的椭圆:上的一点.斜率为的直线交椭圆于、两点,且、、三点不重合.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由?(Ⅲ)求证:直线、的斜率之和为定值.【答案】本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题6分.解:(Ⅰ),,XYODBA,,(Ⅱ)设直线的方程为----①-----②35\n,设为点到直线:的距离,,当且仅当时取等号.因为,所以当时,的面积最大,最大值为.(Ⅲ)设,,直线、的斜率分别为:、,则=------*将(Ⅱ)中①、②式代入*式整理得=0,即0．（2022届重庆省高考压轴卷数学理试题）已知点,是抛物线上相异两点,且满足.(Ⅰ)若的中垂线经过点,求直线的方程;(Ⅱ)若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值及此时直线的方程.35\n【答案】解:(I)当垂直于轴时,显然不符合题意,所以可设直线的方程为,代入方程得:∴得:∴直线的方程为∵中点的横坐标为1,∴中点的坐标为∴的中垂线方程为∵的中垂线经过点,故,得∴直线的方程为(Ⅱ)由(I)可知的中垂线方程为,∴点的坐标为因为直线的方程为∴到直线的距离由得,,35\n∴,设,则,,,由,得在上递增,在上递减,当时,有最大值得:时,直线方程．（2022届广东省高考压轴卷数学理试题）动圆P在x轴上方与圆F:外切,又与x轴相切.(1)求圆心P的轨迹C的方程;(2)已知A.B是轨迹C上两点,过A.B两点分别作轨迹C的切线,两条切线的交点为M,设线段AB的中点为N,是否存在使得(F为圆F的圆心);(3)在(2)的条件下,若轨迹C的切线BM与y轴交于点R,A.B两点的连线过点F,试求△ABR面积的最小值.【答案】解:(1)设P(x,y)由题意知.即圆心P的轨迹C的方程为(2)设,由得直线AM的斜率35\n直线BM的斜率∴直线AM的方程为--------------①直线BM的方程为-------------②由①②消去y得∵,在抛物线上∴∴即点M的横坐标,又∵点N的横坐标为也为∴MN//y轴,即与共线∴存在使得(3)设点B的坐标为,则轨迹C的切线BM的方程为可得R的坐标为,直线BA的方程为,由可得点A的坐标为∴=∵是关于的偶函数,∴只须考虑的情况,令()则,令解得∵当时,,当时,35\n∴当且仅当时,取得最小值．（2022届江苏省高考压轴卷数学试题）在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;(Ⅱ)已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率满足,试探究直线的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.【答案】35\n．（2022届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.【答案】【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因为35\n△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=.结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,∴离心率e==.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件S△AB1B2=4,得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为+=1.(2)由(1),知B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-.又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),∴·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-.由PB2⊥QB1,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.．（2022届江苏省高考压轴卷数学试题）抛物线上有两点且(为坐标原点)(1)求证:∥(2)若,求AB所在直线方程.【答案】抛物线上有两点且(为坐标原点)(1)求证:∥(2)若,求AB所在直线方程.35\n．（2022届四川省高考压轴卷数学理试题）如图,是抛物线为上的一点,以S为圆心,r为半径()做圆,分别交x轴于A,B两点,连结并延长SA、SB,分别交抛物线于C、D两点.(1)求证:直线CD的斜率为定值;(2)延长DC交x轴负半轴于点E,若EC:ED=1:3,求的值.【答案】(1)将点(1,1)代入,得抛物线方程为设,与抛物线方程联立得:35\n由题意有,(2)设同理∴,,因此:．（2022届浙江省高考压轴卷数学理试题）在周长为定值的DDEC中,已知|DE|=8,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,cosC有最小值.(1)“以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程”.2)直线l分别切椭圆G与圆M:x2+y2=R2(其中3<R<5)于A、B两点,求|AB|的最大值.【答案】【解析】(1)设|CD|+|CE|=2a(a>8)为定值,所以C点的轨迹是以D、E为焦点的椭圆,所以焦距2c=|DE|=8.因为35\n又,所以,由题意得.所以C点轨迹G的方程为(2)设分别为直线与椭圆和圆的切点,直线AB的方程为:因为A既在椭圆上,又在直线AB上,从而有,消去得:由于直线与椭圆相切,故从而可得:①②由消去得:由于直线与圆相切,得③④由②④得:由①③得:即,当且仅当时取等号,所以|AB|的最大值为2.．（2022届北京市高考压轴卷理科数学）已知椭圆C的中心在原点,焦点在x35\n轴上,离心率为,短轴长为4.(I)求椭圆C的标准方程;(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为.①求四边形APBQ面积的最大值;②设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,判断+的值是否为常数,并说明理由.【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为由已知b=离心率,得所以,椭圆C的方程为(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P、Q的坐标为,,则,设AB(),直线AB的方程为,代人得:.由△>0,解得,由根与系数的关系得四边形APBQ的面积故当②由题意知,直线PA的斜率,直线PB的斜率35\n则==,由①知可得所以的值为常数0．（2022届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）如图,已知、是抛物线:上的两个不同的点,且,,直线是线段的垂直平分线.设椭圆的方程为.(1)当、在上移动时,求直线的斜率的取值范围;(2)已知直线与抛物线交于、两点,与椭圆交于、两点,设线段的中点为,线段的中点为,若,求椭圆的离心率的取值范围.【答案】(1)由题意知,直线的斜率为,又,,∴直线的斜率为.∵,由,得,即(当时,等号成立),∴.35\n∵、是不同的两点,即,∴,∴,即或.∴直线的斜率的取值范围为.(2)由题意易得,线段的中点坐标为.∵直线是线段的垂直平分线,∴直线的方程为,又∵,,即,∴直线的方程为.将直线的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得,,①.②易知方程①的判别式,方程②的判别式,由(1)易知,又,∴,∴恒成立.设,则,∴线段的中点的坐标为,又∵,∴线段的中点的坐标为.∴,,由得,35\n,即,∴.∵,∴,,∴.由题易知,椭圆的离心率,,∴,∴,∴.故椭圆的离心率的取值范围为.．（2022届江西省高考压轴卷数学理试题）如图,在矩形中,分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设,.(Ⅰ)求直线与的交点的轨迹的方程;(Ⅱ)过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点,若,试求出的值.【答案】解:(I)设,由已知得,则直线的方程为,直线的方程为,消去即得的轨迹的方程为35\n(II)方法一:由已知得,又,则,设直线代入得,设,则由得,即,则,又到直线的距离为,故.经检验当直线的斜率不存在时也满足方法二:设,则,且可得直线的方程为代入得,由得,即,则,故35\n．（2022届天津市高考压轴卷理科数学）已知椭圆(a>b>0)的焦距为4,且与椭圆有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A、B.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.【答案】解:(1)∵焦距为4,∴c=2又∵的离心率为∴,∴a=,b=2∴标准方程为(2)设直线l方程:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得∴x1+x2=,x1x2=由(1)知右焦点F坐标为(2,0),∵右焦点F在圆内部,∴<0∴(x1-2)(x2-2)+y1y2<0即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1<0∴<0∴k<经检验得k<时,直线l与椭圆相交,∴直线l的斜率k的范围为(-∞,).．（2022届福建省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆C:的离心率为,右焦点到直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若直线与椭圆C交于A、B两点,且线段AB中点恰好在直线上,求△OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点).【答案】【解析】(I)由题意得,,所以,所求椭圆方程为35\n.(II)设,把直线代入椭圆方程得到,因此,,所以中点,又在直线上,得,,故,,所以,原点到的距离为,得到,当且仅当取到等号,检验成立.．（2022新课标高考压轴卷（一）理科数学）给定抛物线,是抛物线的焦点,过点的直线与相交于、两点,为坐标原点.(Ⅰ)设的斜率为1,求以为直径的圆的方程;(Ⅱ)设,求直线的方程.【答案】(Ⅰ)解:又直线的斜率为1,直线的方程为:,代入,得:,由根与系数的关系得:,易得中点即圆心的坐标为,又,所求的圆的方程为:.^(Ⅱ)而,,直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为:,代入,得:,由根与系数的关系得:35\n,,或,,直线的方程为:．（2022届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）设分别为椭圆的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,)到F1,F2两点的距离之和等于4.⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标;⑵过点P(1,)的直线与椭圆交于两点D、E,若DP=PE,求直线DE的方程;⑶过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,若△OMN面积取得最大,求直线MN的方程.【答案】⑴椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.;又点A(1,)在椭圆上,因此得b2=1,于是c2=3;所以椭圆C的方程为,⑵∵P在椭圆内,∴直线DE与椭圆相交,∴设D(x1,y1),E(x2,y2),代入椭圆C的方程得  x12+4y12-4=0,x22+4y22-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,∴斜率为k=-1∴DE方程为y-1=-1(x-),即4x+4y=5;(3)直线MN不与y轴垂直,∴设MN方程为my=x-1,代入椭圆C的方程得(m2+4)y2+2my-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,且△>0成立.又S△OMN=|y1-y2|=×=,设t=≥,则S△OMN=,(t+)′=1-t-2>0对t≥恒成立,∴t=时t+取得最小,S△OMN最大,此时m=0,∴MN方程为x=1．（2022届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆35\n的离心率为,且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形的周长为.(I)求椭圆的方程;(II)设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点,试问:在轴上是否存在定点,使成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(I)由题意知:,且,解得,,∴椭圆的方程为.(II)易求得右焦点,假设在轴上存在点(为常数),使.①当直线的斜率不存在时,则,此时,,解得或.②当直线的斜率存在时,设,联立方程组,消去整理得,设,则当即时,为定值:35\n由①②可知,在轴上存在定点,使成立.．（2022届安徽省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆的焦点坐标是,过点垂直与长轴的直线交椭圆与两点,且.(1)求椭圆的方程(2)过的直线与椭圆交与不同的两点,则的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(1)设椭圆的方程是,由交点的坐标得:,---------------由,可得----------------解得---------------故椭圆的方程是-----------(2)设,不妨设设的内切圆半径是,则的周长是,,因此最大,就最大-----------------------由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为,由得,,--------------解得则-----------------35\n令则则------------令当时,,在上单调递增,有,即当时,所以,此时所求内切圆面积的最大值是故直线,内切圆的面积最大值是-----------------------------------35