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全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题5第22练基本量_破解等差等比数列的法宝理
全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题5第22练基本量_破解等差等比数列的法宝理
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第22练 基本量——破解等差、等比数列的法宝[题型分析·高考展望] 等差数列、等比数列是高考的必考点,经常以一个选择题或一个填空题,再加一个解答题的形式考查,题目难度可大可小,有时为中档题,有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量,即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.常考题型精析题型一 等差、等比数列的基本运算例1 已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm. 点评 等差(比)数列基本运算的关注点12\n(1)基本量:在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素.(2)解题思路:①设基本量a1和公差d(公比q);②列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少计算量.变式训练1 (1)(2022·安徽)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.(2)(2022·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于( )A.21B.42C.63D.84题型二 等差数列、等比数列的性质及应用例2 (1)(2022·广东)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.(2)设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40等于( )A.150B.-200C.150或-200D.400或-50点评 等差(比)数列的性质盘点类型等差数列等比数列项的性质2ak=am+al(m,k,l∈N*且m,k,l成等差数列)a=am·al(m,k,l∈N*且m,k,l成等差数列)am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q)am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*且m+n=p+q)和的性质当n为奇数时:Sn=n当n为偶数时:=q(公比)依次每k项的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成等差数列依次每k项的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成等比数列(k不为偶数且公比q≠-1)变式训练2 (1)已知正数组成的等差数列{an},前20项和为100,则a7·a14的最大值是________.(2)在等差数列{an}中,a1=-2016,其前n项和为Sn,若-=2,则S2016的值为________.12\n题型三 等差、等比数列的综合应用例3 (2022·陕西)设fn(x)是等比数列1,x,x2,…,xn的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.(1)证明:函数Fn(x)=fn(x)-2在内有且仅有一个零点(记为xn),且xn=+x;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)与gn(x)的大小,并加以证明. 点评 (1)对数列{an},首先弄清是等差还是等比,然后利用相应的公式列方程组求相关基本量,从而确定an、Sn.(2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质,也是解决此类题目的主要方法.变式训练3 (2022·北京)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等? 12\n 高考题型精练1.(2022·重庆)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列2.(2022·天津)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1等于( )A.2B.-2C.D.-3.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( )A.-110B.-90C.90D.1104.(2022·大纲全国)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.35.(2022·北京)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( )A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2>D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>06.(2022·临沂模拟)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是( )A.2B.3C.4D.57.(2022·北京东城区模拟)设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n12\n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=________.8.(2022·北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.9.(2022·浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=________,d=________.10.(2022·苏州模拟)公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1,ak2,ak3,…构成等比数列,且k1=1,k2=2,k3=6,则k4=________.11.已知数列{an}满足a1=且an+1=an-a(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{a}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N*). 12.(2022·广东)设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值;(2)证明:为等比数列; (3)求数列{an}的通项公式.12\n答案精析专题5数列第22练 基本量——破解等差、等比数列的法宝常考题型精析例1 解 (1)设数列{an}的公差为d,前n项和为Tn,由T5=105,a10=2a5,得解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).(2)对m∈N*,若an=7n≤72m,则n≤72m-1.因此bm=72m-1.所以数列{bm}是首项为7,公比为49的等比数列,故Sm====.变式训练1 (1)1 (2)B解析 (1)设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,∴q===1.(2)设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.例2 (1)10 (2)A解析 (1)因为{an}是等差数列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10.(2)依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,则S40=S30+=70+=150.12\n变式训练2 (1)25 (2)-2016解析 (1)∵S20=×20=100,∴a1+a20=10.∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10.∵an>0,∴a7·a14≤2=25.当且仅当a7=a14时取等号.故a7·a14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质,得数列也是等差数列,根据已知可得这个数列的首项=a1=-2016,公差d=1,故=-2016+(2016-1)×1=-1,所以S2016=-2016.例3 (1)证明 Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2,则Fn(1)=n-1>0,Fn=1++2+…+n-2=-2=-<0,所以Fn(x)在内至少存在一个零点.又F′n(x)=1+2x+…+nxn-1>0(x>0),故Fn(x)在内单调递增,所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn,因为xn是Fn(x)的零点,所以Fn(xn)=0,即-2=0,故xn=+x.(2)解 方法一 由题设,gn(x)=,设h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+…+xn-,x>0.当x=1时,fn(x)=gn(x);12\n当x≠1时,h′(x)=1+2x+…+nxn-1-,若0<x<1,h′(x)>xn-1+2xn-1+…+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0,若x>1,h′(x)<xn-1+2xn-1+…+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0,所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)<h(1)=0,即fn(x)<gn(x),综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x);当x≠1时,fn(x)<gn(x).方法二 由已知,记等差数列为{ak},等比数列为{bk},k=1,2,…,n+1,则a1=b1=1,an+1=bn+1=xn,所以ak=1+(k-1)·(2≤k≤n),bk=xk-1(2≤k≤n),令mk(x)=ak-bk=1+-xk-1,x>0(2≤k≤n),当x=1时,ak=bk,所以fn(x)=gn(x),当x≠1时,m′k(x)=·nxn-1-(k-1)xk-2=(k-1)xk-2(xx-k+1-1),而2≤k≤n,所以k-1>0,n-k+1≥1,若0<x<1,xx-k+1<1,m′k(x)<0;若x>1,xx-k+1>1,m′k(x)>0,从而mk(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,所以mk(x)>mk(1)=0,所以当x>0且x≠1时,ak>bk(2≤k≤n),又a1=b1,an+1=bn+1,故fn(x)<gn(x),综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x);当x≠1时,fn(x)<gn(x).变式训练3 解 (1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.12\n又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2,得n=63,所以b6与数列{an}的第63项相等.高考题型精练1.D[设等比数列的公比为q,因为==q3,即a=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.故选D.]2.D[因为等差数列{an}的前n项和为Sn=na1+d,所以S1,S2,S4分别为a1,2a1-1,4a1-6.因为S1,S2,S4成等比数列,所以(2a1-1)2=a1·(4a1-6).解得a1=-.]3.D[∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又∵a7是a3与a9的等比中项,∴(a1-12)2=(a1-4)·(a1-16),解得a1=20.∴S10=10×20+×10×9×(-2)=110.]4.C[数列{lgan}的前8项和S8=lga1+lga2+…+lga8=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a1·a8)4=lg(a4·a5)4=lg(2×5)4=4.]5.C[设等差数列{an}的公差为d,若a1+a2>0,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,由于d正负不确定,因而a2+a3符号不确定,故选项A错;若a1+a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d,由于d正负不确定,因而a1+a2符号不确定,故选项B错;若0<a1<a2,可知a1>0,d>0,a2>0,a3>0,∴a-a1a3=(a1+d)2-a1(a1+2d)=d2>0,∴a2>,故选项C正确;若a1<0,则(a2-a1)·(a2-a3)=d·(-d)=-d2≤0,故选项D错.]6.D[由等差数列的前n项和及等差中项,可得=12\n======7+(n∈N*),故n=1,2,3,5,11时,为整数.即正整数n的个数是5.]7.-9解析 由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,说明{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有一项为负,∴q<0,又∵|q|>1,∴{an}的连续四项为-24,36,-54,81,∴q==-,∴6q=-9.8.8解析 ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0.∴数列的前8项和最大,即n=8.9. -1解析 因为a2,a3,a7成等比数列,所以a=a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),∴a1=-d,∵2a1+a2=1,∴2a1+a1+d=1即3a1+d=1,∴a1=,d=-1.10.22解析 根据题意可知等差数列的a1,a2,a6项成等比数列,设等差数列的公差为d,则有(a1+d)2=a1(a1+5d),解得d=3a1,故a2=4a1,a6=16a1⇒ak4=a1+(n-1)·(3a1)=64a1,解得n=22,即k4=22.11.证明 (1)由题意得an+1-an=-a≤0,即an+1≤an,故an≤.由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.由0<an≤得==∈(1,2],12\n即1≤≤2成立.(2)由题意得a=an-an+1,所以Sn=a1-an+1,①由-=和1≤≤2得1≤-≤2,所以n≤-≤2n,因此≤an+1≤(n∈N*).②由①②得≤≤(n∈N*).12.(1)解 当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4+5=8+1,解得:a4=.(2)证明 因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),即4an+2+an=4an+1(n≥2),因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,所以4an+2+an=4an+1,因为====,所以数列是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列.(3)解 由(2)知:数列是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列,所以an+1-an=n-1,即-=4,所以数列是以=2为首项,公差为4的等差数列,所以=2+(n-1)×4=4n-2,12\n即an=(4n-2)×n=(2n-1)×n-1,所以数列{an}的通项公式是an=(2n-1)×n-1.12
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:55:38
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