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全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题9第42练坐标系与参数方程理

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第42练 坐标系与参数方程[题型分析·高考展望] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.常考题型精析题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在以O为极点的极坐标系中,直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+)=3和ρsin2θ=8cosθ,直线l与曲线C交于点A、B,求线段AB的长.       点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.(2)在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性.变式训练1 (2022·广东改编)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C1和C2交点的直角坐标.13\n      题型二 参数方程与普通方程的互化例2 (2022·福建)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.     13\n  点评 (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法,加减消参法,平方消参法等.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若x、y有范围限制,要标出x、y的取值范围.变式训练2 (2022·福建)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.         13\n 题型三 极坐标、参数方程及其应用例3 (2022·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,曲线C3:ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB的最大值.         点评 (1)利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义.(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.变式训练3 (2022·陕西)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t13\n为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.      高考题型精练1.(2022·江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ·sin-4=0,求圆C的半径.     2.(2022·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,求直线l被圆C截得的弦长.13\n      3.(2022·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.      13\n      4.(2022·湖南)已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求MA·MB的值.       13\n5.(2022·辽宁)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.       6.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为原点,Ox轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l和曲线C相切,求实数k的值.    13\n7.(2022·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,].(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.  8.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,),求PA+PB.   答案精析第42练 坐标系与参数方程常考题型精析例1 解 ∵ρcos(θ+)=ρcosθcos-ρsinθsin=ρcosθ-ρsinθ=3,∴直线l对应的直角坐标方程为x-y=6.又∵ρsin2θ=8cosθ,∴ρ2sin2θ=8ρcosθ.∴曲线C对应的直角坐标方程是y2=8x.解方程组,得或,13\n所以A(2,-4),B(18,12),所以AB==16.即线段AB的长为16.变式训练1 解 因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρsin2θ=cosθ,得ρ2sin2θ=ρcosθ,所以曲线C1的普通方程为y2=x.由ρsinθ=1,得曲线C2的普通方程为y=1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1).例2 解 (1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由ρsin=m,得ρsinθ-ρcosθ-m=0.所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即=2,解得m=-3±2.变式训练2 解 (1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤2.例3 解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).所以AB=|2sinα-2cosα|=4.13\n当α=时,AB取得最大值,最大值为4.变式训练3 解 (1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则PC==,故当t=0时,PC取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).高考题型精练1.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ-4=0,化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为.2.解 直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y=x-4,圆C的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是x2+y2-4x=0.圆C的圆心(2,0)到直线x-y-4=0的距离为d==.又圆C的半径r=2,因此直线l被圆C截得的弦长为2=2.3.解 (1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即MN=.由于C2的半径为1,所以△C2MN为等腰直角三角形,所以△C2MN的面积为.4.解 (1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ.①将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②13\n(2)将代入②式,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,MA·MB=|t1t2|=18.5.解 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得由x21+y=1得x2+()2=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=(x-),化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.6.解 (1)由,得直线l的普通方程为y=kx+1,由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ,y2=4x,曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)把y=kx+1代入y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0,当直线l与曲线C相切时,由Δ=(2k-4)2-4k2=0,得k=1.经检验k=1适合题意,∴所求实数k=1.7.解 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cost,sint),由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tant=,t=.故D的直角坐标为(1+cos,sin),即(,).8.解 方法一 (1)由ρ=2sinθ,13\n得x2+y2-2y=0,即x2+(y-)2=5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(3-t)2+(t)2=5,即t2-3t+4=0.由于Δ=(-3)2-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以又直线l过点P(3,),故由上式及t的几何意义得PA+PB=|t1|+|t2|=t1+t2=3.方法二 (1)同方法一.(2)因为圆C的圆心为点(0,),半径r=,直线l的普通方程为y=-x+3+.由得x2-3x+2=0.解得或不妨设A(1,2+),B(2,1+),又点P的坐标为(3,),故PA+PB=+=3.13

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发布时间:2022-08-25 23:55:30 页数:13
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文章作者:U-336598

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