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全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺压轴大题突破练2直线与圆锥曲线二理
全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺压轴大题突破练2直线与圆锥曲线二理
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【步步高】(全国通用)2022版高考数学复习考前三个月压轴大题突破练2直线与圆锥曲线(二)理1.设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点M到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,证明:点O到直线AB的距离为定值.2.若直线l:y=-过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行.(1)求双曲线的方程;(2)若过点B(0,b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M,N,MN的垂直平分线为m,求直线m在y轴上的截距的取值范围.7\n3.(2022·郑州市第二次质量检测)已知平面上的动点R(x,y)及两定点A(-2,0),B(2,0),直线RA,RB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-,设动点R的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上,且MQ∥NP,MQ⊥x轴,若直线MN和直线QP交于点S(4,0).问:四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.7\n4.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,点F是它的一个顶点,且其离心率e=.(1)分别求抛物线C和椭圆E的方程;(2)经过A,B两点分别作抛物线C的切线l1,l2,切线l1与l2相交于点M.证明:AB⊥MF;(3)椭圆E上是否存在一点M′,经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′,M′B′(A′,B′为切点),使得直线A′B′过点F?若存在,求出抛物线C与切线M′A′,M′B′所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.7\n答案精析压轴大题突破练21.(1)解 由e=,得c=a,又b2=a2-c2,所以b=a,即a=2b.由左顶点M(-a,0)到直线+=1,即bx+ay-ab=0的距离d=,得=,即=,把a=2b代入上式,得=,解得b=1.所以a=2b=2,c=.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),①当直线AB的斜率不存在时,则由椭圆的对称性,可知x1=x2,y1=-y2.因为以AB为直径的圆经过坐标原点,故·=0,即x1x2+y1y2=0,也就是x-y=0,又点A在椭圆C上,所以+y=1,解得|x1|=|y1|=.此时点O到直线AB的距离d1=|x1|=.②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆方程联立有消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以x1+x2=-,x1x2=.因为以AB为直径的圆过坐标原点O,所以OA⊥OB.所以·=x1x2+y1y2=0.所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.7\n所以(1+k2)·-+m2=0.整理得5m2=4(k2+1),所以点O到直线AB的距离d1==.综上所述,点O到直线AB的距离为定值.2.解 (1)由题意,可得c=2,=,所以a2=3b2,且a2+b2=c2=4,解得a=,b=1.故双曲线的方程为-y2=1.(2)由(1)知B(0,1),依题意可设过点B的直线方程为y=kx+1(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(1-3k2)x2-6kx-6=0,所以x1+x2=,Δ=36k2+24(1-3k2)=12(2-3k2)>0⇒0<k2<,且1-3k2≠0⇒k2≠.设MN的中点为Q(x0,y0),则x0==,y0=kx0+1=,故直线m的方程为y-=-,即y=-x+.所以直线m在y轴上的截距为,由0<k2<,且k2≠,得1-3k2∈(-1,0)∪(0,1),所以∈(-∞,-4)∪(4,+∞).故直线m在y轴上的截距的取值范围为(-∞,-4)∪(4,+∞).3.解 (1)由题意知x≠±2,且k1=,k2=,7\n则·=-,整理得,曲线C的方程为+=1(y≠0).(2)设MP与x轴交于D(t,0),则直线MP的方程为x=my+t(m≠0),记M(x1,y1),P(x2,y2),由对称性知Q(x1,-y1),N(x2,-y2),由消去x得:(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,由根与系数的关系得:y1+y2=-,y1·y2=,由M,N,S三点共线知kMS=kNS,即=,所以y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,整理得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,所以=0,即24m(t-1)=0,t=1,所以直线MP过定点D(1,0),同理可得直线NQ也过定点D(1,0),即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点,且定点坐标为(1,0).4.(1)解 由已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1)可得抛物线C的方程为x2=4y,设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c.由已知可得:解得a=2,b=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)证明 显然直线l的斜率存在,否则直线l与抛物线C只有一个交点,不合题意,故可设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),由消去y并整理得x2-4kx-4=0,∴x1x2=-4.∵抛物线C的方程为y=x2,求导得y′=x,∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y-y1=x1(x-x1),y-y2=x2(x-x2),7\n即y=x1x-x,y=x2x-x,解得两条切线l1,l2的交点M的坐标为,即M,·=·(x2-x1,y2-y1)=(x-x)-2=0,∴AB⊥MF.(3)解 假设存在点M′满足题意,由(2)知点M′必在直线y=-1上,又直线y=-1与椭圆E有唯一交点,故M′的坐标为M′(0,-1),设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y-y0=x0(x-x0),其中点(x0,y0)为切点.令x=0,y=-1,得-1-x=x0(0-x0),解得x0=2或x0=-2,故不妨取A′(-2,1),B′(2,1),即直线A′B′过点F.综上所述,椭圆E上存在一点M′(0,-1),经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′(A′、B′为切点),能使直线A′B′过点F.此时,两切线的方程分别为y=-x-1和y=x-1.抛物线C与切线M′A′、M′B′所围成图形的面积为S=2ʃ[x2-(x-1)]dx=2|=.7
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所属:
高考 - 三轮冲刺
发布时间:2022-08-25 23:55:26
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文章作者:U-336598
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